2020　山陽小野田市立山口東京理科大学　中期薬学部MathJax

　関数$f(x)=-8x^3+6x+\sqrt{2}$を考える．

(1)　$f(\cos \theta )=0$を満たす$3$つの$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$は

${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}\text{ウ}}}\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}\text{カ}}}\pi \text{，}$${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\pi$

である．但し，$0\leqq {\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}\text{ウ}}}<{\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}\text{カ}}}<{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\leqq 1$とする．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる$2$つの部分の面積の和は

${\displaystyle \frac{\text{ケ}\sqrt{\text{コ}}}{\text{サ}}}-{\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}$

である．

(1)　不等式$0.300<{\log }_{10}2<0.305$が成り立つことを証明する．

　これは，${10}^{0.300}<\text{ア}<{10}^{0.305}$を示すのと同値である．${10}^{0.300}={10}^{\frac{3}{\text{イ}\text{ウ}}}$より，${10}^3<{\text{ア}}^{\text{イ}\text{ウ}}=1024$であるから，${10}^{0.300}<\text{ア}$である．また，${10}^{\frac{7}{\text{エ}\text{オ}}}={10}^{0.304\cdots }<{10}^{0.305}$であり，かつ${\text{ア}}^{\text{エ}\text{オ}}=\text{カ}\text{キ}\text{ク}\text{ケ}\text{コ}\text{サ}\text{シ}$である．よって，$\text{ア}<{10}^{\frac{7}{\text{エ}\text{オ}}}<{10}^{0.305}$となる．したがって，本題の不等式は成り立つ．

(2)　$a={\left({\displaystyle \frac{1}{16}}\right)}^{10}$により表される実数$a$について考える．この実数$a$を小数で表すと，小数第$\text{ス}\text{セ}$位に初めて$0$でない数字が現れる．必要であれば，(1)の結果を利用すること．

(3)　ある放射性元素の量が放射性崩壊によって指数関数的に減少し，$8$日たつごとに量が半分になることを考える．その放射性元素の最初の量を$1$として，最初の量から$10$分の$1$になるのは$\text{ソ}\text{タ}$日目である．

　また，そのような放射性元素の量を縦軸に，日数を横軸にとったグラフとして最も適切なものは，図１に示す$1\text{〜}$$5$のうちの$\text{チ}$である．必要であれば，(1)の結果を利用すること．

$1$	$2$
$3$	$4$
$5$

(1)　無作為に選ぶ$2$つの数が$8$以下の自然数である場合，白である確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}\text{ウ}}}$なのである．

(2)　無作為に$4$以下の$2$つ自然数を独立に選び，足し合わせた数を考える．この操作を$2$回行い，得られる数の組を改めて点$(X,Y)$とする．このとき，白である確率は${\displaystyle \frac{\text{エ}\text{オ}\text{カ}}{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}}$である．

(1)　図２に示す縦${210}_{(4)}\text{，}$横${10032}_{(4)}$の長方形に，正方形を隙間なく敷き詰めることを考える．この時，縦と横を$10$進数で表すと，

縦：${210}_{(4)}={\text{ア}\text{イ}}_{(10)}$

横：${10032}_{(4)}={\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}_{(10)}$

となる．これらの値に対して，ユークリッドの互除法の手順を余りが$0$になるまで繰り返すと，

${\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}_{(10)}={\text{ア}\text{イ}}_{(10)}\times {\text{カ}}_{(10)}+{\text{キ}\text{ク}}_{(10)}$

${\text{ア}\text{イ}}_{(10)}={\text{キ}\text{ク}}_{(10)}\times {\text{ケ}}_{(10)}+0$

となり，最も大きい正方形の$1$辺の長さは${\text{キ}\text{ク}}_{(10)}$である．

図２

(2)　図２に示す長方形に(1)で求めた正方形を敷き詰めたとき，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで正方形に沿って最短経路を進むときの道順の総数は${\text{コ}\text{サ}\text{シ}\text{ス}}_{(4)}$通りである．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$における$f(x)$の最小値$m$を求めなさい．

(2)　$-1\leqq a\leqq 2$であるとき，$m$の最大値と最小値を求めなさい．

(3)　$a=-1$とする．$t\leqq x\leqq t+1$における$f(x)$の最小値を$t$の関数として$g(t)$とする．$-3\leqq t\leqq 3$における$g(t)$の最小値と最大値を求めなさい．