2020　長崎大学　前期MathJax

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　ともに零ベクトルでない$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が$3\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|$であり，$3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$と$15\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$を求めよ．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　$a=4^{50}\text{，}$$b=6^{40}\text{，}$$c={15}^{25}$の常用対数の値を求めよ．また，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の大小を不等式で表せ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　$x=t+{\displaystyle \frac{1}{t}}$とする．$t>0$のとき，$x\geqq 2$であることを示せ．また，関数

$y=t^2+{\displaystyle \frac{1}{t^2}}-2a(t+{\displaystyle \frac{1}{t}})$$\text{（}t>0\text{）}$

の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．ただし，$a$は定数とする．

【１】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)　$f(n)=(n-1)n(n+1)\text{，}$$g(n)=n^5-n$とする．このとき，すべての整数$n$に対して，$f(n)$は$6$の倍数，$g(n)$は$30$の倍数であることをそれぞれ証明せよ．

【２】　$xy$平面上に直線$l\text{：}y=x-1$と放物線$C\text{：}y=x^2$がある．直線$l$上の点$\mathrm{P}$$(t,t-1)$から放物線$C$に$2$本の接線$m_1$と$m_2$を引き，接点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1$$(s_1,{s_1}^2)$と${\mathrm{Q}}_2$$(s_2,{s_2}^2)$とする．ただし，$s_1<s_2$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$2$つの接点のうち，$1$つを点$\mathrm{Q}$$(s,s^2)$とする．$\mathrm{Q}$$(s,s^2)$における接線の式を$s$を用いて表せ．また，この接線が点$\mathrm{P}$$(t,t-1)$を通ることから，$s$の$2$次方程式を作り，和$s_1+s_2$および積$s_1{s}_2$の値を，それぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　直線${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$の式を$t$を用いて表せ．

(3)　直線${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$は$t$の値にかかわらず定点$\mathrm{N}$を通る．$\mathrm{N}$の座標を求めよ．また，この点$\mathrm{N}$が線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$の中点$\mathrm{M}$と一致するときの$t$の値を求めよ．

(4)　直線${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$と放物線$C$とで囲まれる図形の面積$S$とするとき，$S$を$t$を用いて表せ．また，$S$を最小にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(1)　$-\pi \leqq x\leqq \pi$で定義された関数$f(x)=3\sin x\sin 2x+\cos 3x$がある．$f(x)$を$\cos x$の式で表し，$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(2)　不等式${\displaystyle \frac{2}{3}}+{\log }_8(2x^2-x+1)\leqq {\log }_2(x+1)$を解け．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(3)　$0$でなく，かつ$1$でもない複素数$z$に対して，複素数平面上に$3$点$\mathrm{P}\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)\text{，}$$\mathrm{Q}\left({\displaystyle \frac{1}{1-z}}\right)\text{，}$$\mathrm{R}(1)$をとる．点$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{PQ}$を$t:(1-t)$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$の比に分けるとき，$z$は実数ではないことを示せ．

【３】　以下はそれぞれ個別の問題である．各問いに答えよ．

(4)　$\alpha =1+\sqrt{2}\text{，}$$\beta =1-\sqrt{2}$に対して，$P_n={\alpha }^n+{\beta }^n$とする．このとき，$P_1$および$P_2$の値を求めよ．また，すべての自然数$n$に対して，$P_n$は$4$の倍数ではない偶数であることを証明せよ．

【４】　平面上に$\mathrm{▵ABC}$がある．点$\mathrm{O}$を$\mathrm{▵ABC}$の外心とし，外接円の半径を$R$とする．また，点$\mathrm{H}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を満たす点とする．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表し，$\mathrm{AH}\perp \mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CH}\perp \mathrm{AB}$であることを示せ．

(2)　線分$\mathrm{OH}$の中点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{▵ABC}$の各辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$の中点を，それぞれ$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{PL}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PN}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表し，$\mathrm{P}$は$\mathrm{▵LMN}$の外心になることを示せ．

(3)　線分$\mathrm{AH}$の中点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{DM}$の中点になることを示せ．

(4)　頂点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\mathrm{E}$は$\mathrm{▵LMN}$の外接円の周上にあることを示せ．

【５】　右図のように，$\mathrm{AB}=x\text{，}$$\mathrm{AD}=y\text{，}$$\mathrm{AE}=z$である直方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$が空間内にある．直方体の対角線$\mathrm{AG}$の長さを$3\text{，}$表面積$S$を$16$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x+y+z$の値を求めよ．

(2)　$y+z$と$yz$を$x$の式で表し，$x$を用いて$y\text{，}$$z$を解とする$t$の$2$次方程式を作れ．

(3)　$x$の値の取り得る範囲を求めよ．

(4)　この直方体の体積を$V$とするとき，$V$の最大値および最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【６】　自然数$n$に対して，

$a_n={\displaystyle {\int }_1^e}{x}^2{(\log x)}^n\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1$の値を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．また，これを利用して，$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$x>0$で定義された関数$f(x)=x{(\log x-1)}^2$の増減およびグラフの凹凸を調べ，極値と変曲点を求めよ．

(4)　(3)の関数$f(x)$について，$x\geqq 1$における曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を$F$とする．このとき，$F$を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を用いて表し，その値を求めよ．

【７】　各自然数$n$に対して，平面上の$2$つの曲線

$C_n\text{：}y=a_n\sin 2x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$D_n\text{：}y=a_{n+1}\cos x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

を考える．ただし，$\{a_n\}$は，$a_1=1\text{，}$$a_n\geqq a_{n+1}>0$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たす$x$によらない数列とする．以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_n\text{，}$$D_n$の$2$つの交点のうち，$x$軸上にない交点の$x$座標を$p_n$とする．このとき，$\sin p_n$を$a_n\text{，}$$a_{n+1}$を用いて表し，$0\leqq p_n\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であることを示せ．

(2)　曲線$C_n$と$x$軸とで囲まれる図形の面積を$S_n$とするとき，$S_n$を$a_n$を用いて表せ．また，$x\geqq p_n$において，曲線$C_n$と$D_n$とで囲まれる図形の面積を$T_n$とするとき，$T_n$を$a_n\text{，}$$a_{n+1}$を用いて表せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して$T_n=r^2{S}_n$（$r$は正の定数）が成り立つとき，一般項$a_n$を求めよ．また，数列$\{a_n\}$が収束するような$r$の値の範囲を求めよ．

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$が収束するような$r$の値の範囲を求めよ．また，そのときの和を求めよ．

【８】　長さが$a$のひもを使って，周の長さが$a$の正三角形，正方形，正五角形，正六角形，$\cdots$と順次，正多角形を作ることとする．頂点が$n$個の正$n$角形$F_n$（$n$は$3$以上の整数）の面積を$S_n\text{，}$$F_n$の外接円の半径を$r_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$S_3$と$S_4$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$r_n$および$S_n$をそれぞれ$a\text{，}$$n$を用いて表せ．

(3)　$0<x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$で定義された関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\tan x}}$の増減を調べよ．

(4)　(3)を利用して，$3$以上の整数$n$に対して，$S_n<S_{n+1}$であることを示せ．

　また，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．さらに，この極限値が図形的にどのような意味を表しているか，簡単に説明せよ．

【10】　$\mathrm{A}$市の有権者のうち，ある政策に対する賛成者の母比率を$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$とする．$\mathrm{A}$市の有権者$100$人を無作為に選んだときの，この政策に対する賛成者数を確率変数$X$として，$X=k$のときの確率を$P(X=k)$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$100\text{）}$とする．以下の問いに答えよ．なお，必要に応じて正規分布表を用いてもよい．

(1)　$P(x=k)$を$p\text{，}$$k$を用いて表せ．

(2)　$100$人中$1$人が賛成者ではない確率が，$2$人が賛成者ではない確率よりも大きくなるとき，$p$の値の範囲を求めよ．

(3)　$X=80$のとき，$p$に対する信頼度$95\mathrm{\%}$の信頼区間を求めよ．

(4)　$P(x=k)$の自然対数$\log P(x=k)$を最大にする$p$を求めよ．ただし，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$99$とする．

教育（小学，幼児教育，特別支援，中学（文系，実技系）教育コース），経済，環境科学，水産学部　【１】，【２】

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医学部　【３】，【４】，【７】，【８】

歯，工学部　【３】，【４】，【５】，【６】

情報データ科学部　【３】，【４】，【６】，【９】，【10】．ただし【９】，【10】から１題選択（なお【９】は【５】と同一問題）