2020　浜松医科大学　前期医学科MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)(a)　加法定理を利用し，等式

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\sin {\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2}}$

を証明せよ．

(b)　$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$のとき，$\sin 2\theta =\sin 3\theta$を満たす$\theta$を求めよ．

(2)　(1)(b)で求めた$\theta$に対して，$\cos \theta$の値を求めよ．

(3)　$3$つの三角比の積$\sin 6\mathrm{°}\sin 54\mathrm{°}\sin 66\mathrm{°}$の値を求めよ．

【２】　$k$を$2$以上の自然数とする．ここで，表と裏の出る確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$のコインを$1$枚，先攻，後攻の順で交互に投げることを繰り返し，$1$辺の長さが$1$の$1$つの正方形を次のルールを用いて面積が$k$以上の長方形になるまで拡張する．

　このルールのもとで，どちらかの番のときに長方形の面積がちょうど$k$になれば，そのときにコインを投げた方が勝ちとする．また，ちょうど$k$にならずに$k$を超えてしまえば両者負けとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$k=80$のときに後攻が勝つ確率を求めよ．

(2)　$k=40$のときに後攻が勝つ確率を求めよ．

(3)　$2$以上のどんな自然数$k$に対しても，先攻か後攻のどちらかが勝つ確率は$0$ではなくもう片方が勝つ確率が必ず$0$になることを証明せよ．

【３】　平面上において，中心が$(0,1)\text{，}$半径が$1$の円が$x$軸上をすべることなくx軸の正の方向に向かって回転するとする．最初，円周上の定点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$の位置にある．その位置から円が角$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,y)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　そのときの$x$軸と円の接点を$\mathrm{A}$とするとき，長さ$\mathrm{OA}$を求めよ．

(2)　$x\text{，}$$y$を$\theta$で表せ．

(3)　$\theta$が$0$から$2\pi$まで動くときの点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$と，直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【４】　以下は，$\mathrm{A}$病院，$\mathrm{B}$病院の，ある月の患者の肝臓の機能を表す$\mathrm{AST}$の値のデータ(有効数字は$2$桁)である．

（上記の標準偏差は小数第$2$位を四捨五入した値である．）

　以下の問いに答えよ．

(1)　これら$2$つのデータの集まりについて，それぞれの四分位数を求め，箱ひげ図を$2$つが比較できるように並べてかけ．

(2)　$\mathrm{A}$病院と$\mathrm{B}$病院の箱ひげ図を比較しその傾向を調べると，その$2$つの傾向は異なることが分かった．$2$つの箱ひげ図の傾向が異なると判断できる理由を$1$つ述べよ．（ここでは医学的知識による解答は求めていない．）

(3)　次の(a)，(b)に答えよ．

(a)　$2$以上の自然数$n$に対して，$n$個の数値$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_n$からなるデータ$X$の平均値を$\bar{x}\text{，}$標準偏差を$s_x$とし，

$z_i={\displaystyle \frac{x_i-\bar{x}}{s_x}}$$\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$

を考える．ただし，$s_x>0$とする．このとき$n$個の数値$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$z_n$からなるデータ$Z$の平均値$\bar{z}$と標準偏差$s_z$の値を求めよ．

(b)　上記の$2$病院$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のデータに対して，各病院においては，検査に用いる試薬の違いがあり，$\mathrm{A}$病院は$18$から$45\text{，}$$\mathrm{B}$病院では$20$から$40$と，$2$病院によって基準範囲（この範囲であれば正常と考えられる範囲）が異なることが分かった．

　このような，$\mathrm{A}$病院と$\mathrm{B}$病院の$\mathrm{AST}$の値の例のように，データの集め方や基準が異なる$2$つの集団を$1$つの集団としてデータの分析を行いたいが，平均値や標準偏差，基準範囲などが異なるデータの集まり$2$つをそのまま混ぜ合わせて$1$つの集まりとすることは避け，なるべく意味のある分析を行うための方法を提案せよ．ただし，$\mathrm{A}$病院と$\mathrm{B}$病院のような例においては，$2$病院の基準範囲が一致することは前提としない．