2020　茨城大学　前期MathJax

【１】　$x$の$2$次関数のグラフである放物線$C$は，$2$点$(1,-2)\text{，}$$(4,4)$を通り，頂点の$x$座標が正の数で，$y$座標が$-4$である．次の各問に答えよ．

(1)　$C$の方程式を求めよ．

(2)　$C$と放物線$y=-x^2+5$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$2$点$\mathrm{A}$$(1,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(4,3)$を直径の両端とする円周上の点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{\angle PAB}=\theta$とする．ただし，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とは異なる点とする．次の各問に答えよ．

(1)　$3\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$3\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$が最大となるとき，その値を求めよ．また，そのときの$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ．

(3)　(2)において，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る直線の方程式を求めよ．

【３】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{\angle AOB}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=2$とする．辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{B}$から線分$\mathrm{OC}$に下ろした垂線を$\mathrm{BP}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OB}$の延長上に，点$\mathrm{B}$が線分$\mathrm{OQ}$を内分するようにとり，辺$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{▵PQB}$の面積と$\mathrm{▵PBO}$の面積の比が$2:3$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$を用いて表せ．

【４】　箱の中に赤玉$5$個と白玉$1$個が入っている．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人が，この順に箱の中から玉を$1$個ずつ取り出す．ただし，$3$人ともそれぞれ$1$回しか玉を取り出さない．また，玉を取り出したあと，取り出した玉は箱に戻さず，赤玉を箱に$1$個入れてから次の人が玉を取り出す．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{B}$が白玉を取り出す確率を求めよ．

(2)　$3$人が玉を取り出したあと箱に白玉が残っていなかったとき，$\mathrm{B}$が白玉を取り出している条件付き確率を求めよ．

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，中心が点${\mathrm{P}}_1$$(1,0)$で半径が$1$の円を$C_1\text{，}$中心が点${\mathrm{P}}_2$$({\displaystyle \frac{1}{2}},0)$で半径が${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円を$C_2$とする．また，原点を通る直線と円$C_1\text{，}$$C_2$との交点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$とする．ただし，点${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$は第$1$象限にあり，$x$軸の正の部分と半直線$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1$のなす角$\theta$は$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)　点$(2,0)$を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{\angle A}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$と$\mathrm{\angle A}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2$をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．

(2)　点${\mathrm{Q}}_1$における円$C_1$の接線と，点${\mathrm{Q}}_2$における円$C_2$の接線が平行であることを証明せよ．

(3)　点${\mathrm{Q}}_1$における円$C_1$の法線と接線，および点${\mathrm{Q}}_2$における円$C_2$の法線と接線の$4$つの直線で囲まれる図形の面積を$S(\theta )$とする．$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$における$S(\theta )$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【２】　$0$でない複素数$z$に対して，$v=-{\displaystyle \frac{1}{z}}\text{，}$$w=2z^2+2z$とする．複素数平面上で，点$z$が単位円周上を動くとき，以下の各問に答えよ．ただし，原点を中心とする半径$1$の円を単位円という．

(1)　$v-z$は実数であることを証明せよ．

(2)　点$z$と点$v$が一致するときの$z$の値をすべて求めよ．

(3)　点$z$と点$v$が一致せず，かつ，点$w$が$2$点$z\text{，}$$v$を通る直線上にあるときの$z\text{，}$$v\text{，}$$w$の値の組をすべて求めよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(1)　$t>1$のとき，不等式$\log t<2\sqrt{t}$を証明せよ．

(2)　(1)を用いて，極限$\underset{t\to \infty }{\mathrm{Iim}}{\displaystyle \frac{\mathrm{leg}t}{t}}$を求めよ．

(3)　$t>1$のとき，不等式$-\log t<{\displaystyle {\int }_1^t}{\displaystyle \frac{\cos (tx)}{x}}\mathit{dx}<\log t$を証明せよ．

(4)　極限$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_1^t}(\log x)\sin (tx)\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．

(1)　次の極限を求めよ．

(ⅰ)　$\underset{x\to \infty }{\mathrm{iim}}(\sqrt{x^2+5x}-\sqrt{x^2+2x})$(ⅱ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^2(1-\cos {\displaystyle \frac{1}{x}})$

【１】　以下の各問に答えよ．

(2)　次の定積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{3x^3+4x}{x^2+1}}\mathit{dx}$(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_0^2}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{16-x^2}}}\mathit{dx}$

【１】　以下の各問に答えよ．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2\cos \pi x}{3+e^{x-1}}}$について，次の極限を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{h}}{\displaystyle {\int }_1^{1+2h}}f(x)\mathit{dx}$

【２】　関数$y=2(\sqrt{3}\cos \theta -\sin \theta )\cos \theta$について，以下の各問に答えよ．

(1)　$y$を，$\cos 2\theta$と$\sin 2\theta$を用いて表せ．

(2)　$y$を，$r\sin (2\theta +\alpha )+\beta$の形に表せ．ただし，$r\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$は定数とし，$r>0\text{，}$$-\pi \leqq \alpha <\pi$とする．

(3)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$の範囲で，$y=0$となる$\theta$の値をすべて求めよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(1)　$a$と$b$を正の整数の定数とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+(2-a)bx-b=0$が$1$を解にもつとき，定数$a\text{，}$$b$の値の組$(a,b)$をすべて求めよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(2)　${22}^{70}$の一の位の数を求めよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(3)　座標平面において，$k$が実数全体を動くとき，直線$y=2kx-k^2$が通る点の全体からなる領域を$D$とする．このとき，点$(1,5)$が$D$に含まれるか，含まれないかを，理由を付して答えよ．

【４】　関数$f(x)=-\log (x+{\displaystyle \frac{1}{2}})$について，以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　関数$y=f(x)$について，$x$を$y$の式で表せ．

(2)　曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形$D$の面積を求めよ．

(3)　(2)で定めた図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．