2019　海上保安大学校　記述式問題MathJax

【１】　関数$f(x)=\cos 3x-5\cos 2x-5\cos x$について，以下の設問に答えよ．

(1)　$t=\cos x$とおく．以下の式を$t$を用いて表せ．

(ⅰ)　$\cos 2x$

(ⅱ)　$\cos 3x$

(ⅲ)　$f(x)$

(2)　$a$を実数の定数とする．方程式$f(x)=a$が実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{H}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{I}$をとり，辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{J}$とする．また，三角形$\mathrm{HIJ}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{F}$が一直線上になるとき，$\mathrm{OH}:\mathrm{OA}$と$\mathrm{OI}:\mathrm{OB}$を求めよ．

【３】　以下の設問に答えよ．

(1)　次の不等式を解け．

$|x-2|\geqq 2$

(2)　次の連立不等式の解が(1)の解と同じとなるための定数$a\text{，}$$b$の条件を求め，点$(a,b)$の存在範囲を座標平面上に図示せよ．

$\{\begin{array}{l}{x}^2-2ax+b\geqq 0\\ |x-2|\geqq 2\end{array}$