2019　航空保安大学校　学科問題MathJax

【１】　　次の式の値はいくらか．

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$$+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}}$$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}}$

$\text{1．}0$$\text{2．}{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$$\text{3．}\sqrt{2}$$\text{4．}\sqrt{3}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{3}}$

【２】　$2$次関数$y=f(x)$が$f(-2)=-4\text{，}$$f(-1)=1\text{，}$$f(1)=-1$を満たすとき，この2次関数の最大値はいくらか．

$\text{1．}2$$\text{2．}{\displaystyle \frac{17}{8}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{9}{4}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{19}{8}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{5}{2}}$

【３】　図のような三角錐$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}\perp \mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{OA}\perp \mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=45\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle ACB}=75\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle OCA}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$である．このとき，辺$\mathrm{OA}$の長さはいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$\text{3．}\sqrt{3}$$\text{4．}2$$\text{5．}3$

【４】　$4$桁の正の整数のうち，全ての桁の数字が互いに異なる偶数はいくつあるか．

$\text{1．}2016\text{個}$$\text{2．}2240\text{個}$$\text{3．}2296\text{個}$$\text{4．}2352\text{個}$$\text{5．}2520\text{個}$

【５】　三つのさいころを同時に投げたときに出た目の積が$3$の倍数になる確率はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{8}{27}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{4}{9}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{5}{9}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{19}{27}}$

【６】　$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:5$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{AM}$の延長と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{MQ}}}$はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{9}{7}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{7}{5}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{8}{5}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{5}{3}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{9}{5}}$

【７】　$a\text{，}$$b$は実数の定数とする．$3$次方程式$x^3-a{x}^2+3x+b=0$の一つの解が$2+\sqrt{3}i$であるとき，他の解のうち実数であるのはどれか．

　ただし，$i$は虚数単位とする．

$\text{1．}-1+\sqrt{3}$$\text{2．}-1$$\text{3．}0$$\text{4．}1$$\text{5．}\sqrt{2}$

【８】　$x\text{，}$$y$が四つの不等式$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$2x+y\leqq 8\text{，}$$2x+3y\leqq 12$を同時に満たすとき，$3x+2y$の最大値はいくらか．

$\text{1．}8$$\text{2．}10$$\text{3．}12$$\text{4．}13$$\text{5．}15$

【９】　$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$のとき，$\sin 2\theta$の値はいくらか．

$\text{1．}-{\displaystyle \frac{4}{5}}$$\text{2．}-{\displaystyle \frac{2}{5}}$$\text{3．}0$$\text{4．}{\displaystyle \frac{2}{5}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{4}{5}}$

【10】　不等式$2^3<3^2\text{，}$$3^5<2^8$が成り立つことを用いて$10{\log }_{2}3$の整数部分を求めるとき，その値はいくらか．

$\text{1．}12$$\text{2．}13$$\text{3．}14$$\text{4．}15$$\text{5．}16$

【11】　曲線$y=2x^2(x+2)$と$x$軸で囲まれた図形の面積はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{8}{3}}$$\text{2．}4$$\text{3．}{\displaystyle \frac{16}{3}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{20}{3}}$$\text{5．}8$

【12】　一般項が$a_n=(2n+1)3^n$で表される数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$について，初項から第$100$項までの和を表したものとして正しいのはどれか．

$\text{1．}100\cdot (3^{101}-3)$$\text{2．}100\cdot 3^{101}-3$$\text{3．}100\cdot 3^{101}$$\text{4．}101\cdot 3^{101}-3$$\text{5．}101\cdot 3^{101}$

【13】　図のような一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において，内積$\overrightarrow{\mathrm{AG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DF}}$はいくらか．

$\text{1．}-1$$\text{2．}0$$\text{3．}1$$\text{4．}{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{5．}\sqrt{3}$