2019　防衛大学校　一般MathJax

2019-20150-0101

2019　防衛大学校　一般理工系,文系共通

易□　並□　難□

【１】　次の問に答えよ．

(1)　 $k$ を定数とする． $2$ 次方程式 $6 x^{2} - x + 5 k = 0$ の $2$ つの解が $\sin θ ，$ $\cos θ$ で与えられるとき， $k$ の値は次のどれか．

$ⓐ - \frac{7}{12}$ $ⓑ \frac{7}{12}$ $ⓒ - \frac{7}{6}$ $ⓓ \frac{7}{6}$ $ⓔ - \frac{35}{12}$ $ⓕ \frac{35}{12}$ $ⓖ 0$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

2019-20150-0102

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易□　並□　難□

【１】　次の問に答えよ．

(2)　 $1$ 個のさいころを投げて， $1$ または $2$ の目が出れば当たりとする． $1$ 個のさいころを $n$ 回投げるとき，少なくとも $1$ 回は当たる確率が $\frac{80}{81}$ 以上となる最小の $n$ の値は次のどれか．必要であれば， $\log_{2} 3 = 1.585$ を用いてよい．

$ⓐ 3$ $ⓑ 4$ $ⓒ 9$ $ⓓ 10$ $ⓔ 11$ $ⓕ 12$ $ⓖ 13$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

2019-20150-0103

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【１】　次の問に答えよ．

(3)　定積分 $\int_{- 4}^{6} x | x - 2 | dx$ の値は次のどれか．

$ⓐ - \frac{500}{3}$ $ⓑ - 76$ $ⓒ - \frac{4}{3}$ $ⓓ 0$ $ⓔ \frac{4}{3}$ $ⓕ 76$ $ⓖ \frac{500}{3}$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

2019-20150-0104

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【１】　次の問に答えよ．

(4)　関数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{6}) + \cos (x + \frac{π}{6})$ の導関数 $f^{'} (x)$ を $r \cos (x + α)$ の形に表したものは次のどれか．ただし， $r > 0 ，$ $0 ≦ α < 2 π$ とする．

$ⓐ \sqrt{2} \cos (x + \frac{5}{12} π)$ $ⓑ \sqrt{2} \cos (x + \frac{17}{12} π)$ $ⓒ \sqrt{3} \cos (x + \frac{5}{12} π)$ $ⓓ \sqrt{3} \cos (x + \frac{17}{12} π)$ $ⓔ \sqrt{3} \cos (x + \frac{π}{6})$ $ⓕ 2 \cos (x + \frac{5}{12} π)$ $ⓖ 2 \cos (x + \frac{7}{12} π)$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

2019-20150-0105

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【１】　次の問に答えよ．

(5)　複素数平面上の点 $4 - 2 \sqrt{3} i$ を原点のまわりに $\frac{π}{6}$ だけ回転した点を表す複素数は次のどれか．

$ⓐ 3 \sqrt{3}$ $ⓑ \sqrt{3}$ $ⓒ 3 \sqrt{3} + 5 i$ $ⓓ \sqrt{3} + 5 i$ $ⓔ 5 + \sqrt{3} i$ $ⓕ 3 \sqrt{3} - i$ $ⓖ \sqrt{3} - i$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

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【１】　次の問に答えよ．

(6)　 $α - \sqrt{α} - 2 = 0$ を満たす正の実数 $α$ に対し，定積分 $\int_{0}^{α} (x - \sqrt{x} - 2) dx$ の値は次のどれか．

$ⓐ - 12$ $ⓑ - \frac{32}{3}$ $ⓒ - \frac{16}{3}$ $ⓓ - 2 - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ $ⓔ \frac{32}{3}$ $ⓕ \frac{16}{3}$ $ⓖ - 2 + \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

2019-20150-0107

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【２】　関数 $y = 4^{x} + 4^{- x} - 3 (2^{x} + 2^{- x}) - 2$ について，次の問に答えよ．

(1)　 $t = 2^{x} + 2^{- x}$ とおいて， $y$ を $t$ で表した式は次のどれか．

$ⓐ - t - 2$ $ⓑ t - 2$ $ⓒ t^{2} - 3 t$ $ⓓ t^{2} - 3 t + 6$ $ⓔ t^{2} - 3 t - 10$ $ⓕ t^{2} - 3 t - 4$ $ⓖ t^{2} - 3 t - 2$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

(2)　 $y = 0$ のとき， $x$ の値は次のどれか．

$ⓐ 0$ $ⓑ 2 \pm \sqrt{3}$ $ⓒ 3 \pm \sqrt{5}$ $ⓓ \log_{2} (2 \pm \sqrt{3})$ $ⓔ - 1 + \log_{2} (3 \pm \sqrt{5})$ $ⓕ - 1 + \log_{2} (5 \pm \sqrt{21})$ $ⓖ 1 \pm \log_{2} \sqrt{3}$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

(3)　 $y$ の最小値は次のどれか．

$ⓐ - \frac{25}{4}$ $ⓑ - 6$ $ⓒ - \frac{17}{4}$ $ⓓ - 4$ $ⓔ - \frac{9}{4}$ $ⓕ - 2$ $ⓖ 0$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

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【３】　 $▵ABC$ の重心を $G$ とする．このとき， $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ となる． $| \vec{GA} | = 2 ，$ $| \vec{GB} | = 3 ，$ $| \vec{GC} | = \sqrt{7}$ であるとき，次の問に答えよ．

(1)　内積 $\vec{GA} \cdot \vec{GB}$ の値は次のどれか．

$ⓐ - 6$ $ⓑ - 3$ $ⓒ - 1$ $ⓓ 0$ $ⓔ 1$ $ⓕ 3$ $ⓖ 6$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

(2)　 $\vec{GA}$ と $\vec{GB}$ のなす角は次のどれか．

$ⓐ \frac{π}{6}$ $ⓑ \frac{π}{4}$ $ⓒ \frac{π}{3}$ $ⓓ \frac{π}{2}$ $ⓔ \frac{2}{3} π$ $ⓕ \frac{3}{4} π$ $ⓖ \frac{5}{6} π$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

(3)　辺 $AC$ の長さは次のどれか．

$ⓐ 3$ $ⓑ \sqrt{3}$ $ⓒ 11$ $ⓓ \sqrt{11}$ $ⓔ 13$ $ⓕ \sqrt{13}$ $ⓖ \sqrt{17}$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

(4)　 $\cos ∠BAC$ の値は次のどれか．

$ⓐ \frac{2}{\sqrt{323}}$ $ⓑ \frac{14}{\sqrt{323}}$ $ⓒ \frac{2}{\sqrt{247}}$ $ⓓ \frac{14}{\sqrt{247}}$ $ⓔ \frac{14}{\sqrt{119}}$ $ⓕ \frac{2}{\sqrt{91}}$ $ⓖ \frac{14}{\sqrt{91}}$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

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【４】　 $a_{1} = 1 ，$ $3 a_{n + 1} = a_{n} + \frac{1}{2^{n + 1}}$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ， \dots ）$ で定義される数列 ${a_{n}}$ について，次の問いに答えよ．

(1)　 $b_{n} = a_{n} - \frac{1}{2^{n}}$ とおくとき， $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ で表す式は次のどれか．

$ⓐ \frac{1}{3} b_{n}$ $ⓑ 3 b_{n}$ $ⓒ \frac{1}{2} b_{n}$ $ⓓ 2 b_{n}$ $ⓔ \frac{1}{6} b_{n}$ $ⓕ \frac{1}{6} b_{n} - 1$ $ⓖ \frac{1}{6} b_{n} - 2$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

(2)　一般項 $a_{n}$ は次のどれか．

$ⓐ \frac{1}{2^{n - 1}}$ $ⓑ \frac{1}{3^{n - 1}}$ $ⓒ \frac{1}{6^{n - 1}}$ $ⓓ \frac{1}{2^{n - 1}} + \frac{1}{3^{n - 1}}$ $ⓔ \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{3^{n - 1}}$ $ⓕ \frac{2}{3} (\frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{3^{n - 1}})$ $ⓖ \frac{1}{2} (\frac{1}{2^{n - 1}} + \frac{1}{3^{n - 1}})$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

(3)　無限級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ の和は次のどれか．

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【５】　 $t > 0$ とする．曲線 $y = e^{x}$ を $C$ とし， $C$ 上の点 $P$ $(t, e^{t})$ における接線を $l$ とする．曲線 $C$ と $y$ 軸の交点を $Q$ とし，また直線 $l$ と $y$ 軸との交点を $R$ とする．曲線 $C$ と直線 $l ，$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $S$ とし， $∠PRQ = θ$ とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　点 $R$ の $y$ 座標は次のどれか．

$ⓐ 1 - t e^{t}$ $ⓑ 1 - t e^{- t}$ $ⓒ e^{t} - t$ $ⓓ e^{t} - t e^{t}$ $ⓔ e^{- t} - t$ $ⓕ e^{- t} - t e^{t}$ $ⓖ e^{- t} - t e^{- t}$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

(2)　 $t = 2$ のとき， $S$ の値は次のどれか．

$ⓐ \frac{1}{2} e^{2} - 1$ $ⓑ \frac{1}{2} e^{2}$ $ⓒ \frac{3}{2} e^{2} - 1$ $ⓓ \frac{3}{2} e^{2}$ $ⓔ e^{2} - 1$ $ⓕ e^{2}$ $ⓖ 2 e^{2} - 1$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

(3)　極限値 $\lim_{t \to \infty} \frac{S \tan θ}{t^{2}}$ は次のどれか．

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【１】　次の問に答えよ．

(4)　 $2$ 直線 $y = 2 x ，$ $y = \frac{1}{2} x$ のなす角を $θ$ とするとき， $\tan θ$ の値は次のどれか．ただし， $0 < θ < \frac{π}{2}$ とする．

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【４】　数列 $a_{1} ，$ $a_{2} ，$ $a_{3} ， \dots ，$ $a_{n} ， \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする．

$S_{n} = - n^{3} + 15 n^{2} - 56 n + 1$

であるとき，次の問に答えよ．

(1)　 $a_{2}$ の値は次のどれか．

(2)　 $a_{n}$ $（ n = 2 ，$ $3 ， \dots ）$ を $n$ で表す式は次のどれか．

$ⓐ - 3 n^{2} + 27 n - 42$ $ⓑ - 3 n^{2} + 27 n - 41$ $ⓒ - 3 n^{2} + 27 n - 40$ $ⓓ - 3 n^{2} + 33 n - 72$ $ⓔ - 3 n^{2} + 33 n - 71$ $ⓕ - 3 n^{2} + 33 n - 70$ $ⓖ - 3 n^{2} + 58 n - 69$ $ⓗ 以上のどれでもない．$

(3)　 $S_{n}$ の最大値は次のどれか．

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