2019　国立看護大学校　入学選抜試験MathJax

【１】(1)　$m^2-n=1$を満たす自然数$m\text{，}$$n$について，$x={\displaystyle \frac{1}{m-\sqrt{n}}}$の整数部分が$5$であるとき，$x$の小数部分は$\text{ア}\sqrt{\text{イ}}-\text{ウ}$である．

【１】(2)　$a$を整数とする．整式$2x^2+3xy-2y^2+ax-3y+2$が，$(lx+my+n)(l^{\prime }x+m^{\prime }y+n^{\prime })$という形に因数分解できるとき，

$a=\text{エオ}$

である．

　ただし，$l\text{，}$$m\text{，}$$n\text{，}$$l^{\prime }\text{，}$$m^{\prime }\text{，}$$n^{\prime }$は整数とする．

【１】(3)　$1$つに最大$1$羽の鳩を入れることができる$8$つの巣箱が横$1$列に並べられている．これらの巣箱に$3$羽の鳩を，どの$2$羽も隣り合わないように入れる方法は$\text{カキ}$通りである．ただし，鳩は区別しないものとする．

【１】(4)　$8$つの数値

$7\text{，}$$5\text{，}$$9\text{，}$$6\text{，}$$8\text{，}$$x\text{，}$$y\text{，}$$6$

の平均が$7\text{，}$分散が$3$であるとき，中央値は$\text{ク}.\text{ケ}$である．

【２】　$a$は実数とする．$a\leqq x\leqq a+4$を定義域とする$2$次関数$f(x)=x^2-3x+4$について考える．$f(x)$の最大値を$M(a)\text{，}$最小値を$m(a)$とする．

(1)　$y=f(x)$のグラフの頂点の座標は

$({\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}},{\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}})$

である．

(2)　$M(a)=f(a+4)$が成り立つような$a$の値の範囲を$a\geqq k$とすると，

$k={\displaystyle \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}}$

である．

(3)　(2)で求めた$k$に対して$a$が$a\geqq k$の範囲を動くとき，$M(a)-m(a)=9$となる$a$の値は

$a={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$

である．

【３】　$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=\sqrt{14}$である三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$に点$\mathrm{E}$を，辺$\mathrm{BC}$に点$\mathrm{F}$を三角形$\mathrm{EBF}$の面積が三角形$\mathrm{ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{2}}$となるようにとり，$\mathrm{BE}=x\text{，}$$\mathrm{BF}=y$（ただし，$0<x<3\text{，}$$0<y<5\text{）}$とする．

(1)　$\cos \mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(2)　$xy={\displaystyle \frac{\text{ウエ}}{\text{オ}}}$である．

(3)　${\mathrm{EF}}^2={(x-y)}^2+\text{カ}$であるから，$\mathrm{EF}$は$x={\displaystyle \frac{\sqrt{\text{キク}}}{\text{ケ}}}$のとき，最小値$\sqrt{\text{コ}}$をとる．

【４】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が，それぞれ$1$枚のコインを同時に投げ，それぞれ表が出たのか裏が出たのかを記録することを繰り返すゲームを行う．表を出した回数の差が$2$になったら，表を$2$回多く出した人を勝者としてゲームを終了する．ただし，$2$人が投げるコインは表と裏が等しい確率で出るものとする．

(1)　$2$投目にゲームが終了する確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}$が$5$投目に$2$回目の表を出して勝者となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エオカ}}}$である．

(3)　$3$投目にゲームが終了する確率は${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$である．

【５】　$A\text{，}$$B$は整数で，$A$を$17$で割った余りは$9\text{，}$$B$を$17$で割った余りは$15$である．

(1)　$A+B$を$17$で割った余りは$\text{ア}\text{，}$$A-B$を$17$で割った余りは$\text{イウ}$である．

(2)　$A^2+B^2$を$17$で割った余りは$\text{エ}$である．

(3)　$B^{96}$を$17$で割った余りは$\text{オ}$である．

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とし，線分$\mathrm{AM}\text{，}$$\mathrm{BN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\mathrm{AP}:\mathrm{PM}=\text{ア}:\text{イ}$である．

(2)　四角形$\mathrm{PMCN}$の面積は三角形$\mathrm{ABP}$の面積の${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$倍である．