2019　気象大学校　記述式問題MathJax

【１】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を

$\{\begin{array}{l}{a}_1=2\\ b_1=1\end{array}\text{，}$$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=4a_n-b_n\\ b_{n+1}=a_n+2b_n\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定義する．以下の設問に答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_3$を求めよ．

(2)　$a_n\text{，}$$a_{n+1}\text{，}$$a_{n+2}$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(3)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(5)　数列$\{c_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を$c_n={\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}-{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}$により定める．このとき，極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{c}_{n+k}$

を求めよ．

【２】　平面上の異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$と表す．また，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を直径の両端とする円を$C$とする．以下の設問に答えよ．

(1)　$C$の中心の位置ベクトル及び半径を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．また，$C$の周上の点の位置ベクトルを$\overrightarrow{r}$とするとき，$\overrightarrow{r}$はベクトル方程式

$(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{b})=0$

を満たすことを示せ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$が不等式

$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})\leqq 0$

$(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{q}-\overrightarrow{b})\leqq 0$

を満たしているとき，$\overrightarrow{x}=(1-\lambda )\overrightarrow{p}+\lambda \overrightarrow{q}$$\text{（}0\leqq \lambda \leqq 1\text{）}$で定義されるベクトル$\overrightarrow{x}$について

$(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{b})\leqq 0$

が成り立つことを示せ．

(3)　$C$の外部に異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をとり，その位置ベクトルを$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$とする．また，実数$t$を用いて

$\overrightarrow{y}=(1-t)\overrightarrow{p}+t\overrightarrow{q}$

と表されるベクトル$\overrightarrow{y}$について，条件

$(\overrightarrow{y}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{y}-\overrightarrow{b})>0$

が全ての実数$t$について成り立っているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$(\overrightarrow{y}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{y}-\overrightarrow{b})$の最小値，及び最小値を与える$t$の値を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$を用いて表せ．

(ⅱ)　ベクトル$\overrightarrow{x}$を$C$の内部又は周上の点の位置ベクトルとする．このとき，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|$の最小値を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$を用いて表せ．

【３】　座標平面上で，次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．

$\{\begin{array}{l}x={\cos }^3\theta \\ y={\sin }^3\theta \end{array}$$\text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

曲線$C$は右図のような概形を描くことが知られている．以下の設問に答えよ．

(1)　曲線$C$で囲まれる図形の面積を求めよ．

　なお，

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{2n}x\mathit{dx}$$={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2n-1}{2n}}\cdot {\displaystyle \frac{2n-3}{2n-2}}\cdot \cdots \cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを用いてよい．

(2)　$\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$${\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$とする．$C$上の点$({\cos }^3\theta ,{\sin }^3\theta )$における$C$の接線の傾きを$\theta$を用いて表せ．

(3)　${\theta }_1\text{，}$${\theta }_2$は${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の整数倍でないとする．$C$上の点$\mathrm{P}$$({\cos }^3{\theta }_1,{\sin }^3{\theta }_1)$における$C$の法線が点$\mathrm{P}$と異なる$C$上の点$\mathrm{Q}$$({\cos }^3{\theta }_2,{\sin }^3{\theta }_2)$において$C$と接しているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\tan 2{\theta }_1$の取り得る値を全て求めよ．

(ⅱ)　線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

(ⅲ)　線分$\mathrm{PQ}$により曲線$C$で囲まれた図形は二つの図形に分割される．このうち，面積が小さい方の図形の面積を求めよ．