2019　気象大学校　多肢選択式問題MathJax

【１】　$x$の方程式$x^2{(x+2)}^2-4x(x+2)-a=0$が四つの異なる実数解をもつような定数$a$の値の範囲として正しいのはどれか．

$\text{1．}-5<a<-1$$\text{2．}-4<a<5$$\text{3．}-4<a$$\text{4．}-1<a<5$$\text{5．}-1<a$

【２】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BD}=2\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{CD}=2\text{，}$$\mathrm{\angle ABD}=45\mathrm{°}$のとき，対角線$\mathrm{AC}$の長さはいくらか．

$\text{1．}2\sqrt{2}$$\text{2．}\sqrt{10}$$\text{3．}\sqrt{2}+\sqrt{3}$$\text{4．}2+\sqrt{2}$$\text{5．}2+\sqrt{3}$

【３】　変量$x$の$10$個のデータがあり，この$10$個のデータの平均値は$4\text{，}$分散は$14$である．このうち，$2$個のデータを取り除いたところ，残り$8$個のデータの平均値は$3\text{，}$分散は$3.5$になった．取り除いたデータのうち，値が小さい方はいくらか．

　なお，変量$x$の分散について

$(x\text{の分散})=(x^2\text{の平均値})-{(x\text{の平均値})}^2$

が成り立つことを用いてよい．

$\text{1．}2$$\text{2．}3$$\text{3．}4$$\text{4．}5$$\text{5．}6$

【４】　数直線上の原点に点$\mathrm{P}$がある．$1$個のさいころを投げて，$1$又は$2$の目が出たときには点$\mathrm{P}$は正の向きに$1$だけ進み，$3$又は$4$の目が出たときには点$\mathrm{P}$は負の向きに$1$だけ進む．また，$5$又は$6$の目が出たときには点$\mathrm{P}$は動かないものとする．さいころを$4$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{4}{27}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{13}{81}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{5}{27}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{2}{9}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{19}{81}}$

【５】　不定方程式$20x-18y=30$の整数解のうち，$0\leqq x\leqq 100\text{，}$$0\leqq y\leqq 100$を満たすものは何組あるか．

$\text{1．}4\text{組}$$\text{2．}6\text{組}$$\text{3．}8\text{組}$$\text{4．}10\text{組}$$\text{5．}12\text{組}$

【６】　半径$3$の円$\mathrm{A}$と半径$2$の円$\mathrm{B}$は外接し，二つの円の共通接線を$l$とする．また，円$\mathrm{C}$は図のように，円$\mathrm{A}$及び円$\mathrm{B}$と外接し，さらに，$l$とも接している．

　このとき，円$\mathrm{C}$の半径はいくらか．

$\text{1．}3(5-2\sqrt{6})$$\text{2．}3(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})$$\text{3．}3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$$\text{4．}6(5-2\sqrt{6})$$\text{5．}6(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})$

【７】　$x^{2018}$を$x^4-1$で割ったときの商を$Q(x)$とし，余りを$R(x)$とするとき

$x^{2018}=(x^4-1)Q(x)+R(x)$

が成り立つ．このとき，$R(x)$として正しいのはどれか．

$\text{1．}1$$\text{2．}x$$\text{3．}{x}^2$$\text{4．}{x}^3-1$$\text{5．}{x}^3-x+1$

【８】　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標を$(-1,0)\text{，}$$(1,0)$とする．$0<k<1$を満たす定数$k$に対し，$2$直線$y=k(x+1)\text{，}$$y={\displaystyle \frac{k-1}{k+1}}(x-1)$の交点を$\mathrm{P}$とおく．このとき，$\tan \mathrm{\angle APB}$の値はいくらか．

$\text{1．}-\sqrt{3}$$\text{2．}-\sqrt{2}$$\text{3．}-1$$\text{4．}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$\text{5．}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

【９】　点$\mathrm{P}$が長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周上を動くとき，$\mathrm{AP}+\sqrt{2}\mathrm{PB}$の最大値はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}}$$\text{4．}1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$\text{5．}\sqrt{3}$

【10】　二つの放物線$y=x^2\text{，}$$y=x^2-5x+10$の両方に接する直線を$l$とする．このとき，直線$l$と放物線$y=x^2$の接点の$x$座標はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{3．}1$$\text{4．}{\displaystyle \frac{5}{4}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{3}{2}}$

【11】　$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．図のように，放物線$y=ax(2-x)$と$x$軸で囲まれた図形を直線$y=x$により二つの部分に分け，上側の部分の面積を$S_1\text{，}$下側の部分の面積を$S_2$とする．このとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}={\displaystyle \frac{8}{19}}$となるような定数$a$の値はいくらか．

　なお，${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )\mathit{dx}$$=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$が成り立つことを用いてよい．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{3}{4}}$$\text{3．}1$$\text{4．}{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{3}{2}}$

【12】　$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}-a_n=n+1$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$によって定義される数列$\{a_n\}$に対し

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$

とする．このとき，$S_n>1.99$を満たす最小の$n$の値はいくらか．

　なお，${\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}={\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$が成り立つことを用いてよい．

$\text{1．}200$$\text{2．}250$$\text{3．}300$$\text{4．}350$$\text{5．}400$

【13】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，$2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$を満たす．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$はいくらか．

$\text{1．}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{2．}-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{3．}0$$\text{4．}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{1}{2}}$