2019　防衛医科大学校　医学科記述式MathJax

【１】　以下の問に答えよ．

(1)　整式$x^4-1$を$3$次の整式$f(x)$で割ると商が$g(x)\text{，}$余りが$13x^2-37$となった．また，整式$x^2-x$を$g(x)$で割ると，商が$h(x)\text{，}$余りが$2$となった．このとき，方程式$f(x)=0$の$3$つの解を求めよ．

【１】　以下の問に答えよ．

(2)　半径が同じである$2$つの円が点$\mathrm{A}$$(3,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-2)$を共有し，$2$円の中心間の距離が$6\sqrt{2}$であるとき，$2$円の中心の座標はそれぞれいくらか．

【１】　以下の問に答えよ．

(3)　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$が，ある$t$に対し，$f^{\prime }(t)=f^{\prime }(t+5)=2$を満たすとき，${\displaystyle {\int }_t^{t+5}}f(x)\mathit{dx}$はいくらか．ここで，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$t$は実数である．

【１】　以下の問に答えよ．

(4)　$\mathrm{▵ABC}$において辺$\mathrm{BC}$上に$\overrightarrow{\mathrm{BD}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$となる点$\mathrm{D}$と，$\mathrm{▵ABD}$内に$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$となる点$\mathrm{P}$をとる．このとき，$\mathrm{▵APC}$の面積は$\mathrm{▵ABP}$の面積の何倍であるか．

【２】　$1$から$3n$までの自然数がそれぞれ$1$つずつ書かれた$3n$枚のカードがある$\text{（}n$は$2$以上の自然数）．この$3n$枚のカードを$3$つのグループ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$にそれぞれ$n$枚ずつ分けて，各グループ内でカードを数字の小さい順に並べるものとする．グループ$\mathrm{A}$に入る$n$枚のカードに書かれた数字を小さい順に，$X_1\text{，}$$X_2\text{，}\cdots \text{，}$$X_n\text{，}$グループ$\mathrm{B}$に入る$n$枚のカードに書かれた数字を小さい順に，$Y_1\text{，}$$Y_2\text{，}\cdots \text{，}$$Y_n\text{，}$グループ$\mathrm{C}$に入る$n$枚のカードに書かれた数字を小さい順に，$Z_1\text{，}$$Z_2\text{，}\cdots \text{，}$$Z_n$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　このようなカードの並べ方は何通りあるか．

(2)　$n=4$とし，$X_i+2=Y_i+1=Z_i$となる$i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{）}$がちょうど$3$個あるようなカードの並べ方は何通りあるか．

(3)　$X_i+2=Y_i+1=Z_i$となる$i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）}$がちょうど$n-2$個あるようなカードの並べ方は何通りあるか．

(4)　数字の$j$が書かれたカードがグループ$\mathrm{A}$に，数字の$j+1$が書かれたカードがグループ$\mathrm{B}$に含まれるような$j$$\text{（}j=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$3n-1\text{）}$がちょうど$n-1$個あるようなカードの並べ方は何通りあるか．

【３】　関数$f(x)=\log (\sqrt{x^2+3}+x)$について，関数$f(x)$の逆関数を$g(x)\text{，}$座標平面において曲線$y=f(x)$の点$(g(1),f(g(1))$における接線を$y=h(x)$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　関数$g(x)$を求めよ．

(2)　関数$h(x)$を求めよ．

(3)　$-1\leqq x\leqq g(1)$において，$h(x)\geqq f(x)$を示せ．

(4)　$y\geqq 0$の領域において，曲線$y=f(x)\text{，}$直線$y=h(x)\text{，}$$x$軸で囲まれる部分の面積はいくらか．