2019　防衛医科大学校　医学科択一式MathJax

【１】　整式$2x^2+x+9xy+2x{y}^2$$-4y^4+5y^2-1$を因数分解すると$(2x+a{y}^2+by+c)(x+d{y}^2+ey+f)$となる．このとき，$a+b+c+d+e+f$はいくらか．ここで，$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d\text{，}$$e\text{，}$$f$は実数である．

$\text{(1)}3$$\text{(2)}4$$\text{(3)}5$$\text{(4)}6$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【２】　$2$次関数$f(x)=x^2-2a^{2}x+a^4+{\displaystyle \frac{5}{81}}$の区間$[0,a]$における最小値が${\displaystyle \frac{7}{27}}$となる正の実数$a$はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{5}{3}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【３】　$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{AC}=4$である$\mathrm{▵ABC}$において辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{7}{2}}$となる点$\mathrm{D}$をとる．このとき，$\mathrm{BD}$はいくらか．ただし，$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{BD}$は自然数とする．

$\text{(1)}5$$\text{(2)}6$$\text{(3)}7$$\text{(4)}8$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【４】　$1\text{，}$$3\text{，}$$5\text{，}$$7\text{，}$$9$の$5$つの数字がそれぞれ$1$つずつ書かれた$5$枚のカードがある．このカードを並べて出来る$1$桁から$5$桁までの整数の中で，$9$の倍数はいくつあるか．

$\text{(1)}32$$\text{(2)}33$$\text{(3)}34$$\text{(4)}35$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【５】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$つのサイコロを同時に振り，出た目の最小値が$2$であったときの最大値が$4$である条件つき確率はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{12}{61}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{15}{61}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{18}{61}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{21}{61}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【６】　方程式$z^3=8$の虚数解の$1$つを$\alpha$とすると，${\alpha }^4+6{\alpha }^3+8{\alpha }^2+8\alpha$の値はいくらか．

$\text{(1)}8$$\text{(2)}12$$\text{(3)}16$$\text{(4)}20$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【７】　座標平面上で不等式$(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-x-y)\leqq 0$により表される領域の面積はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi +{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi +1$$\text{(3)}\pi +{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{(4)}\pi +1$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【８】　円$C\text{：}{x}^2+y^2-8x-8y+30=0$と直線$l\text{：}y=x+k$$\text{（}k$は定数）が$2$点$\mathrm{A}$$(a_1,a_2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b_1,b_2)$で交わるものとする．ただし，$a_1<b_1$である．$C$の中心を$\mathrm{O}\text{，}$${\mathrm{A}}^{\prime }$$(a_1,0)\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }$$(b_1,0)$としたとき，$\mathrm{▵}\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$の面積が$2$より大きくなるような$k$の範囲は$\alpha <k<\beta$である．このとき，$\alpha +\beta$はいくらか．

$\text{(1)}-1$$\text{(2)}0$$\text{(3)}1$$\text{(4)}2$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【９】　関数$f(x)=\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{12}})-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$の最大値はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{5}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【10】　$m^{\frac{1}{3}n}+m^{-\frac{1}{3}n}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}$のとき$m^n-m^{-n}$はいくらか．ただし，$m\text{，}$$n$はともに$1$以上の実数とする．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{4}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{4}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{4}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{11\sqrt{2}}{4}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【11】　$2$つの$2$次関数$f(x)=x^2+1\text{，}$$g(x)=-x^2+2ax-a^2-1$がある．曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と$C_2\text{：}y=g(x)$の共通の接線のうち，傾きが負の方を$l_1$とする．$l_1$の$y$切片が$-24$であるとき，$C_2$と$l_1$の交点は$(\alpha ,\beta )$である．このとき，$\alpha$と$\beta$の積はいくらか．

$\text{(1)}-{\displaystyle \frac{14}{5}}$$\text{(2)}-{\displaystyle \frac{18}{5}}$$\text{(3)}-{\displaystyle \frac{22}{5}}$$\text{(4)}-{\displaystyle \frac{26}{5}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【12】　座標空間において，$\mathrm{A}$$(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-2,0,b)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,0,c)\text{，}$$\mathrm{D}$$(4,4,-2)$の四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AC}$が点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$を通る平面に垂直であるとき，$\mathrm{▵ABD}$の面積はいくらか．ただし，$b\text{，}$$c$は実数である．

$\text{(1)}2\sqrt{13}$$\text{(2)}3\sqrt{13}$$\text{(3)}2\sqrt{14}$$\text{(4)}3\sqrt{14}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【13】　$a_1=0.\stackrel{\cdot }{0}\stackrel{\cdot }{3}\text{，}$$a_2=0.\stackrel{\cdot }{0}\stackrel{\cdot }{5}\text{，}$$a_3=0.\stackrel{\cdot }{0}\stackrel{\cdot }{9}\text{，}$$a_4=0.\stackrel{\cdot }{1}\stackrel{\cdot }{7}\text{，}$$a_5=0.\stackrel{\cdot }{3}\stackrel{\cdot }{3}\text{，}\cdots$である数列$\{a_n\}$の初項から第$10$項までの和はいくらか．

$\text{(1)}18.\stackrel{\cdot }{7}\stackrel{\cdot }{6}$$\text{(2)}19.\stackrel{\cdot }{7}\stackrel{\cdot }{6}$$\text{(3)}20.\stackrel{\cdot }{7}\stackrel{\cdot }{6}$$\text{(4)}21.\stackrel{\cdot }{7}\stackrel{\cdot }{6}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【14】　関数$f(x)={\sin }^{5}x+8{\cos }^{5}x$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における最小値を$\alpha$とする．$f(x)=\alpha$となる$x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について，$\tan x$はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{(2)}1$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{(4)}2$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【15】　媒介変数$t$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$を用いて

$\{\begin{array}{l}x=3\cos t-\cos 3t\\ y=3\sin t-\sin 3t\end{array}$

で表される曲線の長さはいくらか．

$\text{(1)}12$$\text{(2)}14$$\text{(3)}16$$\text{(4)}18$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．