2019　西南学院大学　商,国際文化学部A日程MathJax

【１】

1.　$3$辺の長さがそれぞれ$8\text{，}$$6\text{，}$$10$である三角形の面積は$\boxed{\text{アイ}}\text{，}$内接円の半径は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$外接円の半径は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

2.　$a=\sin 17\mathrm{°}$としたとき，$\sin 51\mathrm{°}=\boxed{\text{オカ}}{a}^3+\boxed{\text{キ}}{a}^2+\boxed{\text{ク}}<mi>a</mi>$

【１】

3.　${\displaystyle \sum _{k=1}^8}{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$

【２】　$a>0$とし，曲線$C\text{：}y=x^3$上の点$\mathrm{P}$$(a,a^3)$における接線を$l_1$とする．また，曲線$C$と接線$l_1$との$\mathrm{P}$以外の共有点を$\mathrm{Q}$とおき，点$\mathrm{Q}$における曲線$C$の接線を$l_2$とする．

(1)　$l_1$の方程式は$y=(\boxed{\text{ス}}x-\boxed{\text{セ}}a)a^{\boxed{\text{ソ}}}$であり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\boxed{\text{タチ}}a$である．

(2)　$C$と$l_1$とで囲まれる図形の面積を$S(a)$とおくと，$S(a)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{ト}}}}{a}^{\boxed{\text{ナ}}}$である．

(3)　$l_1$と$l_2$のなす角を$\theta$（ただし，$0\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$）とおくと，$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}{a}^{\boxed{\text{ヌ}}}}{1+\boxed{\text{ネノ}}{a}^{\boxed{\text{ハ}}}}}$であり，$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}}$のとき，$\tan \theta$は最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}$をとる．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とし，$2$つの点を$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})\text{，}$$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$とする．$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$のとき，以下の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$|t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$を最小にする実数$t$の値とその最小値を求めよ．

(3)　$|t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$を最小にするときの$t$を$t_1$とする．位置ベクトル$t_1\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$で定められる点を$\mathrm{P}\text{，}$$t_1\overrightarrow{a}$で定められる点を$\mathrm{Q}$とするとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を求めよ．