2019　西南学院大学　人間科学部Ａ日程MathJax

【１】

1.　$|x+2|+|x-1|\leqq x+8$を満たす$x$の値の範囲は$\boxed{\text{アイ}}\leqq x\leqq \boxed{\text{ウ}}$である．

【１】

2.　${\displaystyle \sum _{k=16}^{224}}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}}=\boxed{\text{エオ}}$

【１】

3.　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$を満たす$\theta$は，$\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}\pi$である．

【１】

4.　$9^{12}$の百の位の数は$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$十の位は$\boxed{\text{コ}}\text{，}$一の位は$\boxed{\text{サ}}$である．

【２】

1.　自然数$a\text{，}$$b$について${\displaystyle \frac{1}{2a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$となり，$a^3>b$を満たすのは$a=\boxed{\text{シ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{スセ}}$のときである．

【２】

2.　$2^x=3^y={24}^z=\sqrt[4]{6}$を満たす$x\text{，}$$y\text{，}$$z$について${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}=\boxed{\text{ソ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}-{\displaystyle \frac{1}{z}}=\boxed{\text{タチ}}$

【３】　平面上に中心を$\mathrm{O}$とする円$C$がある．直線$l$が接点$\mathrm{Q}$で$C$に接しているとき，$\mathrm{OQ}\perp l$であることを以下の手順で証明したい．

　直線$l$は点$\mathrm{O}$を通らないものとする．$\mathrm{O}$を通り$l$に垂直な直線は，少なくとも一本存在することは前提としてよい．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{O}$を通り$l$に垂直な直線は唯一本しか存在しないことを，背理法を用いて証明せよ．即ち，$\mathrm{O}$から$l$に降ろした二つの異なる垂線の足$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が存在したと仮定して矛盾を導け．

ヒント：三角形の内角の和は$180\mathrm{°}$であることを用いてもよい．

　以下，$\mathrm{O}$から$l$に降ろした唯一の垂線の足を$\mathrm{H}$とする．

(2)　$l$上の任意の点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{OP}\geqq \mathrm{OH}$であることを示せ．また，等号が成立するのはどのような場合であるかを示せ．

(3)　中心$\mathrm{O}$の円$C$が，点$\mathrm{Q}$で$l$に接している．このとき，$\mathrm{OQ}\perp l$であることを示せ．