2019　西南学院大学　文,法学部Ａ日程MathJax

【１】

1.　$2$点$(3,-5,6)$および$(5,1,-2)$を直径の両端とする球面の方程式は，${(x-\boxed{\text{ア}})}^2+{(y+\boxed{\text{イ}})}^2+{(z-\boxed{\text{ウ}})}^2=\boxed{\text{エオ}}$である．

【１】

2.　$1$個のサイコロを$3$回投げるとき，出た目の和が$6$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キクケ}}}}$である．

【１】

3.　$5^{100}$は$\boxed{\text{コサ}}$桁の整数である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】

4.　$f(x)=11x^2+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}(x^{2}t+x{t}^2)f(t)\mathit{dt}$を満たす関数$f(x)$を求めると，$f(x)=\boxed{\text{シス}}{x}^2+\boxed{\text{セ}}x$となる．

【２】　$1$辺の長さが$3$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．線分$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．辺$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{OC}$上の点$\mathrm{Q}$は，$3$つの線分の長さの和$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QM}$が最小になるように定められており，$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QM}=2\sqrt{7}$である．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{PQ}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

(2)　 $\cos \mathrm{\angle OAP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}}{\boxed{\text{テト}}}}$

(3)　四角形$\mathrm{BPQC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

【３】　$m$を自然数とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$m^3-m$が$6$の倍数であることを証明せよ．

(2)　$m^2-1$が$8$で割り切れるための必要十分条件は，$m$が奇数であることを示せ．