2019　産業医科大学　医学部MathJax

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　実数$x\text{，}$$y$が$x^2+y^2+2xy+2x-2y+2=0$を満たすとき$x-y$の最大値は$\text{ア}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　数列$\{a_n\}$は$a_1=1\text{，}$$a_2=3\text{，}$${\displaystyle \frac{a_{n+1}-a_n}{a_{n+2}}}=0.25$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を満たすとする．$a_{31}$の値は$\text{イ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　$\alpha \text{，}$$\beta$は${\alpha }^2+{\beta }^2=\alpha \beta$および$|\alpha -\beta |=2\sqrt{5}$を満たす複素数とする．複素数平面上で，$3$点$0\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$を頂点とする三角形の面積は$\text{ウ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{CD}=5\text{，}$$\mathrm{DA}=6$であるとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\text{エ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(5)　$\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+\sin {\displaystyle \frac{4\pi }{7}}+\sin {\displaystyle \frac{8\pi }{7}}$の値は$\text{オ}$であり，$\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}+\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{7}}+\cos {\displaystyle \frac{8\pi }{7}}$の値は$\text{カ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(6)　$4$以上$100$以下の自然数で，合成数であるものの個数は$\text{キ}$である．

【１】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(7)　数列の極限$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt[3]{n^9-n^6}-n^3)$の値は$\text{ク}$である．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　曲線$y=x^2-x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$と直線$y=x$で囲まれた部分を直線$y=x$の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$\text{ケ}$である．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(2)　実数$x$に対して，方程式$e^x={\pi }^x+\left|\right|x-2|-1|$の解の個数は$\text{コ}$である．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(3)　実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$\left[x\right]$で表す．たとえば$\left[3\right]=3\text{，}$$\left[3.14\right]=3\text{，}$$[-3.14]=-4$である．$[\sqrt{7-4\sqrt{3}}-\sqrt{36+9\sqrt{15}}]$の値は$\text{サ}$である．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_{99}^{101}}\sqrt{(x-99)(101-x)}\mathit{dx}$の値は$\text{シ}$である．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(5)　定積分${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}}{\tan }^{4}x\mathit{dx}$の値は$\text{ス}$である．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(6)　$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{CA}=\sqrt{5}$である$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}\text{，}$垂心を$\mathrm{H}$とするとき線分$\mathrm{OH}$の長さは$\text{セ}$である．

【２】　空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(7)　円周上に$n$点をとり点同士を結ぶ線分を引きうる限り引くとする．ただし，$3$つの線が内部で$1$点で交わることはないものとする．これらの線により分割された領域の数を$a_n$とおく．たとえば，$a_1=1\text{，}$$a_2=2\text{，}$$a_3=4\text{，}$$a_4=8\text{，}$$a_5=16\text{，}$$a_6=31$である（下の図）．$a_{10}$の値は$\text{ソ}$であり，$a_{20}$の値は$\text{タ}$である．

【３】　$7$つのマッチ箱が円にそって並べてある．はじめの箱には$24$本のマッチ棒が入っており，$2$番目には$15$本，以下，$17$本，$13$本，$28$本，$14$本，$29$本のマッチ棒が入っている．マッチ棒は隣り合う箱にしか移せないとする．移動させるマッチの総本数を輸送量とよぶことにする．下の図は，箱に入っているマッチの本数がすべて同じになるようなマッチの移し方のひとつであり，輸送量は$13+8+5+2+6+0+9=43$本である．他にも様々な移し方とそのときの輸送量が考えられる．すべての箱に入っているマッチの本数が同じ（すなわち各々$20$本ずつ）になるようにマッチを移すときの輸送量の最小値を求めなさい．