2019　立命館大　理系学部個別配点方式2月7日実施MathJax

【１】　$p>0$とし，$xy$平面上の点$(p,q)$から$3$次関数$y=x^3-x$のグラフに接線を引く．

〔1〕　$3$次関数$y=x^3-x$上の点$(t,t^3-t)$における接線の方程式は$y=\boxed{\text{ア}}$である．

〔2〕　ちょうど$2$本の接線が引けるとき，$q$を$p$で表すと，$q=\boxed{\text{イ}}$または$q=\boxed{\text{ウ}}$である．ただし，$\boxed{\text{イ}}<\boxed{\text{ウ}}$とする．さらに，$2$つの接線の$y$座標が等しくなるのは，$p=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\boxed{\text{オ}}$のときである．

〔3〕　$\boxed{\text{イ}}<q<\boxed{\text{ウ}}$のとき，$3$次関数$y=x^3-x$の接線で点$(p,q)$を通るものはちょうど$3$本ある．$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$がこの$3$つの接点を通るとき，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$c=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　数列$\{a_n\}$は等差数列で，各項$a_n$は自然数とする．初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの中で，$2$の倍数である項全体の和を$D_n\text{，}$$3$の倍数である項全体の和を$T_n$とおく．ただし，条件を満たす項が存在しないときは，和は$0$と定める．

〔1〕　$\{a_n\}$の一般項を$a_n=n$とする．各自然数$k$について，$D_{2k}=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$T_{3k}=\boxed{\text{イ}}$である．また，$n=\boxed{\text{ウ}}$のとき$D_n=30$を満たし，$n=\boxed{\text{エ}}$のとき$T_n=165$を満たす．

〔3〕　$\{a_n\}$の初項を$3\text{，}$公差を$d$とする．ただし，$d>0$とする．すべての$n$について，$D_n=0$となるのは，$d$が$\boxed{\text{オ}}$の倍数のときである．また，すべての$n$について，$T_n<T_{n+1}$が成立するのは，$d$が$\boxed{\text{カ}}$の倍数のときである．$d$がどちらの条件も満たさないとき，各自然数$k$について$D_{2k}=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$T_{3k}=\boxed{\text{ク}}$である．

〔3〕　$\{a_n\}$の初項を$a\text{，}$公差を$d$とし，$D_1=T_1=T_2=0$かつ$D_2\ne 0\text{，}$$T_3\ne 0$とする．このとき，各自然数$k$について$D_{2k}=\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$T_{3k}=\boxed{\text{コ}}$である．さらに，ある自然数$k$について$6D_{2k}=5T_{3k}$が成立しているとき，${\displaystyle \frac{a}{d}}=\boxed{\text{サ}}$である．

【３】　$n$を$3$以上の自然数とする．複素数平面上の点$0$を中心とする単位円を考える．この単位円を$n$等分する点$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$z_n$を

$0\leqq \arg z_1<\arg z_2<\cdots <\arg z_n<2\pi$

を満たすようにとる．$k=1\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$に対して各$z_k$と虚軸に関して対称な点を${z_k}^{\prime }$とする．$n$個の点$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$z_n$を頂点とする正$n$角形の周および内部を$P\text{，}$点${z_1}^{\prime }\text{，}$${z_2}^{\prime }\text{，}$$\cdots \text{，}$${z_n}^{\prime }$を頂点とする正$n$角形の周および内部を$P^{\prime }$とする．以下，偏角はすべて$0$以上$2\pi$未満である．

〔1〕　$n=3$かつ$z_1=1$のとき，$\arg z_2=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$\arg {z_3}^{\prime }=\boxed{\text{イ}}$である．

〔2〕　$n=4$とする．$z_1={z_2}^{\prime }$を満たすならば，$\arg z_1=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$z_1={z_3}^{\prime }$を満たすならば，$\arg z_1=\boxed{\text{エ}}$である．

〔３〕　$n$を偶数とする．$z_1=1$のとき，$P$と$P^{\prime }$は一致し，${z_k}^{\prime }=z_1$となる$k$を$n$を用いて表すと，$k=\boxed{\text{オ}}$となる．$z_1\ne 1$のとき，$P$と$P^{\prime }$が一致するのは，$\arg z_1=\boxed{\text{カ}}$のときである．

〔4〕　$n$を奇数とする．$P$と$P^{\prime }$が一致するのは，$\arg z_1=\boxed{\text{キ}}$または$\arg z_1=\boxed{\text{ク}}$のときである．$z_1=1$のとき，$P$と$P^{\prime }$の共通部分は，正$\boxed{\text{ケ}}$角形の周および内部であり，この周は点$0$を中心とする半径$\boxed{\text{コ}}$の円を内接円にもつ．

【４】　$\mathrm{I}$さんが，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$地点から以下の確率で別の地点に移動するか，同じ地点にとどまる試行を$n$回繰り返す．ただし，$n$は$0$以上の整数とし，最初は$\mathrm{A}$地点にいるとする．

・$\mathrm{A}$地点にいるとき，$1$回の試行で$\mathrm{A}$地点にとどまる確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\mathrm{B}$地点に移動する確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

・$\mathrm{B}$地点にいるとき，$1$回の試行で$\mathrm{A}$地点に移動する確率は$\alpha \text{，}$$\mathrm{C}$地点に移動する確率は$1-\alpha$である．ただし，$\alpha$は$0<\alpha <1$を満たす定数とする．

・$\mathrm{C}$地点にいるとき，$1$回の試行で$\mathrm{C}$地点に止まる確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$\mathrm{B}$地点に移動する確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

　$\mathrm{I}$さんが$n$回の試行後に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の各地点にいる事象をそれぞれ$A_n\text{，}$$B_n\text{，}$$C_n$とし，それらの確率を$P(A_n)\text{，}$$P(B_n)\text{，}$$P(C_n)$と表す．$P(A_0)=1\text{，}$$P(B_0)=P(C_0)=0$であることから，

$P(A_1)=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$P(B_1)=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$P(C_1)=0\text{，}$

$P(A_2)=\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$P(B_2)=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$P(C_2)=\boxed{\text{オ}}$

である．

　$1$以上の$n$について$P(B_n)=\boxed{\text{カ}}\times P(B_{n-1})+\boxed{\text{キ}}$が成り立ち，したがって，$P(B_n)=\boxed{\text{ク}}$を得る．これを用いて$P(A_n)$の漸化式を導き，一般項$P(A_n)$を求めると，

$P(A_n)=\boxed{\text{ケ}}+\boxed{\text{コ}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n+\boxed{\text{サ}}{(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n$

が得られる．

（注：$\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コ}}\text{，}$$\boxed{\text{サ}}$は$n$を用いずに表せ．）