2019　立命館大　文系学部個別方式2月7日実施MathJax

【１】

〔1〕　$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=6$である$\mathrm{▵ABC}$が，半径$5$の円に内接している．$\mathrm{\angle BCA}$の大きさは$\boxed{\text{ア}}\mathrm{°}$である．$\mathrm{\angle ABC}$が鈍角のとき，$\cos \angle ABC=\boxed{\text{イ}}\text{，}$$\mathrm{BC}=\boxed{\text{ウ}}$である．

　次に，$\mathrm{\angle ABC}$が鋭角のとき，$\tan \mathrm{\angle ABC}=\boxed{\text{エ}}$である．このとき，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$以外の点$\mathrm{D}$をとり，線分$\mathrm{AD}$の延長線と$\mathrm{▵ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{E}$とするとき，$\tan \mathrm{\angle BEC}=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】

〔2〕　初項${\displaystyle \frac{10}{9}}\text{，}$公比${\displaystyle \frac{10}{9}}$の等比数列$\{a_n\}$について考える．${\log }_{10}3=0.477$として，次の問いに答えよ．

　この数列の一般項は$a_n=\boxed{\text{カ}}$と表され，$a_n>9$を満たす最小の$n$の値は$\boxed{\text{キ}}$である．

　$(a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_n=\boxed{\text{ク}}$と表される．これを$a_n$を用いて表すと$S_n=\boxed{\text{ケ}}\times a_n-10$となり，$S_n>90$を満たす最小の$n$の値は$\boxed{\text{コ}}$となる．また，$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの積を$P_n$とすると，$P_n>S_n+10$を満たす最小の$n$の値は$\boxed{\text{サ}}$となる．

【１】

〔3〕　$x$軸，$y$軸および直線$l\text{：}x+2y-6=0$で囲まれた領域を$D$（ただし，境界線を含む）とする．直線$y=x$上に中心をもつ円$C$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(a)　円$C$の中心が領域$D$に含まれ，かつ円$C$が$x$軸と接するとき，円$C$の半径の最大値は$\boxed{\text{シ}}$となる．

(b)　円$C$の中心が領域$D$に含まれ，円$C$の中心の$x$座標が$1$のとき，円$C$の中心と直線$l$の間の距離は$\boxed{\text{ス}}$となる．

(c)　円$C$全体が領域$D$に含まれるとき，円$C$の半径の最大値は$\boxed{\text{セ}}$となる．

【２】　ある企業が生産する商品の生産量を$Q$で表し，この商品$1$単位あたりの価格を$P$とする．企業の売上を$P\times Q\text{，}$生産にかかる費用を$Q^2+4Q+3$とすると，企業の利潤は次の式で表される．

$\mathrm{PQ}-(Q^2+4Q+3)\cdots \text{①}$

このとき，以下の問いに答えよ．

〔1〕　企業の利潤（$\text{①}$式）を最大にする生産量$Q$を価格$P$の関数で表したものを供給関数とよぶ．この企業の供給関数は，

$Q=\boxed{\text{ア}}$

と表される．

　この商品の価格が$P=30$のとき，利潤を最大にする生産量$Q_1$は，

$Q_1=\boxed{\text{イ}}$

となる．縦軸に価格$P\text{，}$横軸に生産量$Q$をとったグラフにおいて，供給関数のグラフ，$P=30\text{，}$および縦軸で囲まれた面積を$Z$とする．価格が$P=30$のとき，面積$Z$と企業の利潤の最大値の差は，$\boxed{\text{ウ}}$となる．

　いま，この商品の生産によって大気汚染が発生したとする．この汚染を取り除くためには，生産量$1$単位当たり$10$の費用が必要となる．価格が$P=30$での生産量が$Q_1$のとき，面積$Z$から汚染の除去費用を引いたものは$\boxed{\text{エ}}$となる．

〔2〕　大気汚染を取り除くための費用を企業が負担する場合を考える．この場合，企業の利潤は次のようになる．

$\mathrm{PQ}-(Q^2+4Q+3)-10Q\cdots \text{②}$

$\text{②}$式を最大にする生産量$Q$を価格$P$の関数で表した供給関数を求める．この商品の価格が$P=30$のとき，企業の利潤（$\text{②}$式）を最大にする生産量$Q_2$は，

$Q_2=\boxed{\text{オ}}$

となる．このとき，$\text{②}$式のもとでの供給関数のグラフ，$P=30\text{，}$および縦軸で囲まれた面積は$\boxed{\text{カ}}$となり，$\boxed{\text{エ}}$に比べて大きくなることがわかる．

【３】　曲線$C\text{：}y=x^3-3x$がある．$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

〔1〕　$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．

〔2〕　〔1〕で求めた接線の傾きが$6$であるとき，$a$の値を求めよ．

〔3〕　$C$に同じ傾きの接線を$2$本引くことができるとき，それらの接線の傾き$m$のとり得る値の範囲を求めよ．

〔4〕　$m$が〔3〕で求めた範囲にあるとき，傾きが$m$の$C$の接線で，$y$切片の値の小さい方を$l$とする．$C$と$l$とで囲まれた面積が$12$であるとき，$m$の値を求めよ．