2019　立命館大　理系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】　$n$を$3$以上の自然数，$a$を正の実数とする．$x\geqq 0$において定義された関数$f(x)=x^n\text{，}$$g(x)=a^2{x}^{n-2}$に対して$S={\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)-g(x)|dx$とする．

〔1〕　$y=f(x)$と$y=g(x)$は$n$の値によらず$x=\boxed{\text{ア}}$で共有点をもつ．また，$f(x)$の第$2$次導関数$f^{″}(x)$が関数$g(x)$に等しくなるのは，$a=\boxed{\text{イ}}$のときである．

〔2〕　$n=3$とし，$0<a<1$とする．このとき，$S$を$a$を用いて表すと，$S=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$0\leqq x\leqq 1$の範囲において，$g(x)-f(x)$は，$x=\boxed{\text{エ}}$のとき，最大値$\boxed{\text{オ}}$をとる．

〔3〕　$S$を$a\text{，}$$n$を用いて表すと，$0<a<1$であるとき，$S=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$a\geqq 1$であるとき，$S=\boxed{\text{キ}}$である．各$n$に対して，$S$を最小にする$a$を$n$を用いて表すと，$a=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　$p$を$3<p\leqq 4$を満たす定数として，$f(x)=px(1-x)$とおく．

〔1〕　$x$に関する方程式$x=f(x)$の解は$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$$\text{（}\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}\text{）}$である．また，$f^{\prime }(\boxed{\text{イ}})=\boxed{\text{ウ}}$である．

〔2〕　$g(x)=f(f(x))$とおく．$x$に関する方程式$x=g(x)$の解のうち，$x=f(x)$を満たさないものを$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$\alpha \text{，}$$\beta$は$x$に関する$2$次方程式$x^2+\boxed{\text{エ}}x+\boxed{\text{オ}}=0$の解であり，$f^{\prime }(\alpha )f^{\prime }(\beta )=\boxed{\text{カ}}$である．さらに，不等式$|f^{\prime }(\alpha )f^{\prime }(\beta )|<1$を満たす$p$の範囲を求めると，$3<p<\boxed{\text{キ}}$となる．

　また，$f(g(x))=g(f(x))$であることより，$f(\alpha )\text{，}f(\beta )$も$x=g(x)$の解となることから，$f(\alpha )=\beta \text{，}$$f(\beta )=\alpha$が成り立つ．これより，$g^{\prime }(\alpha )=g^{\prime }(\beta )=\boxed{\text{ク}}$を得る．

（注：すべて$f\text{，}$$g\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$を用いずに答えよ．）

【３】　$xyz$座標空間に点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(1,-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}(-3,1,3)$および点$\mathrm{P}$を考える．

〔1〕　$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上にあるとする．$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$の中点であるとき，$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{ア}}$である．$\mathrm{P}$が$yz$平面上にあるとき，$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{イ}}$である．直線$\mathrm{OP}$が直線$\mathrm{AB}$と直交するとき，$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{ウ}}$である．

〔2〕　$\mathrm{P}$が$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$を満たすとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\boxed{\text{エ}}$である．また，$\mathrm{P}(x,y,z)$とするとき，$z$を$x\text{，}$$y$を用いて表すと，$z=\boxed{\text{オ}}$である．さらに，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$が同一直線上にあるとき，$\mathrm{P}$の座標は$\boxed{\text{カ}}$である．

〔3〕　$r$を定数とし，$\mathrm{P}$は$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}=r$を満たしながら動くとする．$r$のとり得る範囲は$r\geqq \boxed{\text{キ}}$である．

　$r=\boxed{\text{キ}}$のとき，$\mathrm{P}$は$2$点$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}$を端点とする線分上にある．

　$r>\boxed{\text{キ}}$とする．$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上にあるならば，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{コ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$または$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\boxed{\text{サ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$が成り立つ．また，$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{AB}$の距離の最大値を$r$を用いて表すと ，$\boxed{\text{シ}}$となる．

【４】　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君が箱を$1$つずつもっていて，それぞれの箱の中には$1$から$4$の数字が$1$つずつ書かれた$4$個の球が入っている．

〔1〕　$\mathrm{A}$君は，箱から$1$個の球を取り出し，そこに書かれた数字を記録して，箱に球を戻す．この試行を$n$回繰り返したとき，記録された数字の和を$S_n$とする．この試行を$2$回行ったとき，$S_2$が$4$以下になる確率は$\boxed{\text{ア}}$である．この試行を$4$回繰り返したとき，$S_4$が$16$になる確率は$\boxed{\text{イ}}$である．この試行を$10$回繰り返して$S_2$が$6$以上であり，かつ$S_{10}$が$15$になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{2^{19}}}$である．

〔2〕　次に，$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君の$2$名で以下の試行(＊)を行う：

(＊)　$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君が各自の箱からそれぞれ$1$個球を取り出し，そこに書かれた数字を比較する．$2$つの数字が異なる場合は，大きな数であった方のみが$3$点を得る．$2$つの数字が同じであった場合は，双方が$1$点を得る．取り出した球は元の箱に戻す．

　この試行を$1$回行ったとき，$\mathrm{A}$君が得点する確率は$\boxed{\text{エ}}$である．

　少なくとも一方の得点の合計が$10$点以上になるまでこの試行を繰り返す．試行は最大で$\boxed{\text{オ}}$回行われる．試行は最小で$\boxed{\text{カ}}$回行われ，その確率は$\boxed{\text{キ}}$である．試行がちょうど$5$回で終わる確率は$\boxed{\text{ク}}$である．

（注：確率はすべて既約分数で答えよ．）