2019　立命館大　薬学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

〔1〕　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$x$についての方程式

${\log }_3\sin x+{\log }_3\cos x+2{\log }_{3}2-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$

の解は$x=\boxed{\text{ア}}\text{，}\boxed{\text{イ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イ}}$とする．

【１】

〔2〕　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{CD}=5\text{，}$$\mathrm{DA}=2$とする．

　このとき，次の問いに答えよ．

(a)　$\cos \mathrm{\angle DAB}=\boxed{\text{ウ}}$である．

(b)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{エ}}$である．

(c)　直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{▵PBC}$の面積は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】

〔3〕　$x$についての$3$次方程式

$x^3+(a-5)x^2+(a+8)x-6a-4=0$

を考える．

(a)　この方程式はどのような$a$の値についても，$x=\boxed{\text{カ}}$を解にもつ．

(b)　この方程式が異なる二つの実数解をもつとき，$a=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}$である．ただし，$\boxed{\text{キ}}<\boxed{\text{ク}}<\boxed{\text{ケ}}$とする．

【２】　異なる$3$点$\mathrm{A}(x_1,y_1)\text{，}$$\mathrm{B}(x_2,y_2)\text{，}$$\mathrm{P}(x,0)$を考える．ただし，$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2$は実数の定数であり，$x_1<x_2\text{，}$$y_1<0<y_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

〔1〕　線分$\mathrm{AP}$の長さは$\mathrm{AP}=\boxed{\text{ア}}\text{，}$線分$\mathrm{BP}$の長さは$\mathrm{BP}=\boxed{\text{イ}}$と表される．

〔2〕　正の二つの実数を$n_1\text{，}$$n_2$とし，$f(x)=n_1{\mathrm{AP}}^2+n_2{\mathrm{BP}}^2$とおく．関数$f(x)$の$x$についての導関数は$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ウ}}x-\boxed{\text{エ}}$となる．関数$f(x)$が最小値をとるのは$x=\boxed{\text{オ}}$のときである．このときの点$\mathrm{P}$の$x$座標は，線分$\mathrm{AB}$を$\boxed{\text{カ}}:\boxed{\text{キ}}$に内分する点の$x$座標と同じである．そして，関数$f(x)$の最小値は$\boxed{\text{ク}}{(x_2-x_1)}^2+\boxed{\text{ケ}}{y_1}^2+\boxed{\text{コ}}{y_2}^2$と表される．

〔3〕　点$\mathrm{P}$を通って$y$軸に平行な直線を$l$とし，直線$l$と線分$\mathrm{AP}$のなす角を${\theta }_1\text{，}$直線$l$と線分$\mathrm{BP}$のなす角を${\theta }_2$とする．ただし，$0<{\theta }_1<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<{\theta }_2<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．関数$f(x)$が最小値をとるとき，次のようになる．

$\sin {\theta }_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}(x_2-x_1)}{\sqrt{\boxed{\text{シ}}{(x_2-x_1)}^2+{(n_1+n_2)}^2{y_1}^2}}}$

$\sin {\theta }_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}(x_2-x_1)}{\sqrt{\boxed{\text{セ}}{(x_2-x_1)}^2+{(n_1+n_2)}^2{y_1}^2}}}$

【３】　座標の定められた空間において，原点$\mathrm{O}$を通りベクトル$\overrightarrow{a}=(1,3,0)$に平行な直線を$l_1$とし，点$(2,1,1)$を通りベクトル$\overrightarrow{b}=(-2,4,0)$に平行な直線を$l_2$とする．点$\mathrm{P}$を直線$l_1$上に，点$\mathrm{Q}$を直線$l_2$上にとる．

　このとき，次の問いに答えよ．

〔1〕　直線$l_1$は平面$z=\boxed{\text{ア}}$に含まれ，直線$l_2$は平面$z=\boxed{\text{イ}}$に含まれている．実数$s$を媒介変数としてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を成分を用いて表すと$(s,\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$になる．また，実数$t$を媒介変数としてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を成分を用いて表すと$(2-2t,\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$になる．

〔2〕　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$は$s=\boxed{\text{キ}}\text{，}$$t=\boxed{\text{ク}}$のとき最小値$\boxed{\text{ケ}}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$の成分は$(\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}})$であり，したがって直線$\mathrm{PQ}$は直線$l_1$を含む平面$z=\boxed{\text{ア}}$と直線$l_2$を含む平面$z=\boxed{\text{イ}}$にそれぞれ直交している．

〔3〕　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$が最小になる点$\mathrm{P}$に対して，まず，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を$\mathrm{▵PAB}$が正三角形になるように直線$l_2$上にとる．次に，点$\mathrm{S}$を四面体$\mathrm{SPAB}$が正四面体になるようにとる．このとき，$\mathrm{▵PAB}$の面積は$\boxed{\text{ス}}$になり，正四面体$\mathrm{SPAB}$の体積は$\boxed{\text{セ}}$になる．

【４】〔1〕　$3$種類のアルファベット$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{G}$を使ってできる$2$文字の並びを考え，はじめの$2$文字の並びは，左の文字も右の文字も$\mathrm{A}$である$\mathrm{AA}$とする．すべての目が同じ確率で出現する$1$個のさいころを投げると，次の規則にしたがって$2$文字のうち$1$文字が変わる．

・偶数の目が出たら左の文字が変わり，奇数の目が出たら右の文字が変わる．

・変わる前の文字が$\mathrm{A}$のときは，その文字が$\mathrm{T}$に変わる．

変わる前の文字が$\mathrm{T}$のときは，その文字が$\mathrm{G}$に変わる．

変わる前の文字が$\mathrm{G}$のときは，その文字が$\mathrm{A}$に変わる．

(a)　$2$回続けて$1$個のさいころを投げた後に，$2$文字の並びが$\mathrm{TT}$である確率は，$\boxed{\text{ア}}$である．

(b)　$3$回続けて$1$個のさいころを投げた後に，$2$文字の並びが$\mathrm{AA}$である確率は，$\boxed{\text{イ}}$である．

(c)　$6$回続けて$1$個のさいころを投げた後に，$2$文字の並びが$\mathrm{AA}$である確率は，$\boxed{\text{ウ}}$であり，$2$文字の並びが$\mathrm{A}$を含んでいない確率は，$\boxed{\text{エ}}$である．

(d)　$3n$回（$n$は自然数）続けて$1$個のさいころを投げた後に，$2$文字の並びが$\mathrm{AA}$である確率を$P(3n)$とすると，さらに$3$回続けて$1$個のさいころを投げた後に$2$文字の並びが$\mathrm{AA}$である確率$P(3(n+1))$は，$P(3n)$を用いて表すと$\boxed{\text{オ}}$である．

(e)　$3n$回（$n$は自然数）続けて$1$個のさいころを投げた後に，$2$文字の並びが$\mathrm{AA}$である確率は，$\boxed{\text{カ}}$である．

〔2〕　$2$種類のアルファベット$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{T}$を使ってできる$2$文字の並びを考え，はじめの$2$文字の並びは，左の文字も右の文字も$\mathrm{A}$である$\mathrm{AA}$とする．偶数の目が出る確率が$p$$\text{（}0<p<1\text{）}$で，奇数の目が出る確率が$(1-p)$である特別な$1$個のさいころを投げると，次の規則にしたがって$2$文字のうち$1$文字が変わる．

・偶数の目が出たら左の文字が変わり，奇数の目が出たら右の文字が変わる．

・変わる前の文字が$\mathrm{A}$のときは，その文字が$\mathrm{T}$に変わる．

変わる前の文字が$\mathrm{T}$のときは，その文字が$\mathrm{A}$に変わる．

(a)　$2$回続けて$1$個のさいころを投げた後に，$2$文字の並びが$\mathrm{AA}$である確率は，$\boxed{\text{キ}}$である．

(b)　$4$回続けて$1$個のさいころを投げた後に，$2$文字の並びが$\mathrm{AA}$である確率は，$\boxed{\text{ク}}$である．