2019　立命館大　文系学部Ａ方式2月3日実施MathJax

【１】

〔1〕　$\mathrm{AB}=c\text{，}$$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b$である$\mathrm{▵ABC}$について考える．ただし，答えは$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いた式で表すこととする．

　$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\boxed{\text{ア}}$となる．

　また，$\mathrm{\angle BAC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\boxed{\text{イ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{オ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$となる．

【１】

〔2〕　$x$についての$2$次方程式

$x^2+ax+b=0\cdots \text{①}$

　$3$次方程式

$p{x}^3+q{x}^2+x+r=0\cdots \text{②}$

を考える．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$p\text{，}$$q\text{，}$$r$は実数であり，$p\ne 0$とする．また，$i$は虚数単位とする．

　$\text{①}$の解の$1$つが${\displaystyle \frac{-3+\sqrt{7}i}{2}}$であるならば，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{キ}}$である．

　次に，$\text{②}$も${\displaystyle \frac{-3+\sqrt{7}i}{2}}$を解にもつとする．また，$\text{②}$の左辺の式を$x+2$で割ったとき，余りが$-6$であるならば，$p=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$q=\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$r=\boxed{\text{コ}}$である．

【１】

〔3〕　座標平面において，$\left|y\right|\leqq -a\left|x\right|+1$（$a$は正の定数）が表す領域の面積は，$\boxed{\text{サ}}$となる．また，点$(x,y)$がこの領域を動くとき，$x+y$と$x^2+y^2$の最大値をそれぞれ$p\text{，}$$q$とおくと，$a\geqq \boxed{\text{シ}}$の場合には$p=q=1$となり，$a<\boxed{\text{シ}}$の場合には$p=\boxed{\text{ス}}\text{，}$$q=\boxed{\text{セ}}$となる．

【２】　ある薬品の水溶液$\mathrm{A}$が毎秒$1\mathrm{g}\text{，}$容器に注がれている．$\mathrm{A}$の濃度は時間とともに変化し，注ぎはじめからの時間が$t$秒$\text{（}0\leqq t\leqq 60\text{）}$のとき注がれる$\mathrm{A}$の濃度$\text{（}\mathrm{\%}\text{）}$は，

$f(t)={\displaystyle \frac{1}{40}}{t}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}t+10$

である．水溶液の濃度$\text{（}\mathrm{\%}\text{）}$は${\displaystyle \frac{\text{薬品の質量（}\mathrm{g}\text{）}}{\text{水溶液の総質量（}\mathrm{g}\text{）}}}\times 100$とする．最初は容器には何も入っていない．

　容器の中の水溶液を水溶液$\mathrm{B}$とよぶ．

　$x$秒後$\text{（}0<x\leqq 60\text{），}$$\mathrm{B}$の濃度$\text{（}\mathrm{\%}\text{）}$は，

となる．この$\mathrm{B}$の濃度が最低となる時間を調べる．

　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の濃度が同じになる時間は，注ぎはじめてから$\boxed{\text{エ}}$秒後となる．このとき，注ぎはじめてからの時間が$\boxed{\text{エ}}$秒よりも短いと，$\boxed{\text{オ}}$ので，$\mathrm{A}$を加え続けると$\mathrm{B}$の濃度は$\boxed{\text{カ}}\text{．}$また，注ぎはじめてからの時間が$\boxed{\text{エ}}$秒よりも長いと濃度の変化が逆になる．よって，$\mathrm{B}$の濃度が最低となる時間は，注ぎはじめてから$\boxed{\text{キ}}$秒後である．

　ただし，$\boxed{\text{オ}}$と$\boxed{\text{カ}}$は次のそれぞれの選択肢から$1$つ選び，番号で答えよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を，

$1,$$3,$$1,$$3,$$9,$$3,$$1,$$3,$$9,$$27,$$9,$$3,$$1,$$3,$$9,$$\mathrm{27},$$81,$$27,$$9,$$\cdots ,$$81,$$243,$$\cdots$

とする．$\{a_n\}$を

$1|$$3,$$1,$$3|$$9,$$3,$$1,$$3,$$9|$$27,$$9,$$3,$$1,$$3,$$9,$$\mathrm{27}|$$81,$$27,$$9,$$\cdots ,$$81|$$243,$$\cdots$

のように，第$k$群の最初の項と最後の項がともに$3^{k-1}$となるように群で分けて考える．このとき，次の問いに答えよ．

〔1〕　第$k$群に含まれる項の和を$S_k$とするとき，$S_k$を求めよ．また，$S={\displaystyle \sum _{k=1}^p}{S}_k$を求めよ．

〔2〕　$\{a_n\}$において$a_{50}\text{，}$$a_{100}$をそれぞれ求めよ．答えは$3$の累乗の形で答えてもよい．

〔4〕　$\{a_n\}$において，$a_1=1\text{，}$$a_3=1\text{，}$$a_7=1$のように$a_n=1$となる$n$を小さい順に並べて数列を作ると，

$1,$$3,$$7,$$\cdots$

となる．この数列を$\{b_n\}$とするとき，一般項$b_n$を求めよ．

〔4〕　$\{a_n\}$の初項から第$1000$項までに，$1$である項は何個あるか．

〔5〕　$a_{1000}$を求めよ．答えは$3$の累乗の形で答えてもよい．