2019　立命館大　理系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

〔1〕　$2$次方程式$z^2+2z+2=0$の$2$つの解のうち，虚部が正であるものを$z_1\text{，}$負であるものを$z_2$とおく．それぞれを極形式で表すと，

$z_1=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$z_2=\boxed{\text{イ}}$

となる．

〔2〕　$w$を複素数とする．$w$が$w^2=z_1$を満たすとき，$w$を極形式で表すと

$w=\boxed{\text{ウ}}\text{，}\boxed{\text{エ}}$

となる．また，$w^2=z_2$を満たすとき，$w$を極形式で表すと

$w=\boxed{\text{オ}}\text{，}\boxed{\text{カ}}$

となる．これら$4$つの複素数を，偏角が小さい順に$w_1\text{，}$$w_2\text{，}$$w_3\text{，}$$w_4$とする．各$w_k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{）}$は，$w$の$4$次方程式$\boxed{\text{キ}}=0$の解となる．ここで，$\boxed{\text{キ}}$は$w^4$の係数が$1$である$w$について整理された多項式である．また，$w_1+w_2+w_3+w_4=\boxed{\text{ク}}\text{，}$$w_1{w}_2{w}_3{w}_4=\boxed{\text{ケ}}\text{，}$${w_1}^2+{w_2}^2=\boxed{\text{コ}}$である．

〔3〕　複素数平面上の$3$点$0\text{，}$$z_1\text{，}$$w_1$を頂点とする三角形の面積を$S_1\text{，}$$3$点$0\text{，}$$z_2\text{，}$$w_2$を頂点とする三角形の面積を$S_2$とおくと，

${S_1}^2=\boxed{\text{サ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}=\boxed{\text{シ}}$

である．

　$a_1=43$とする．$a_1$を$2$進法で表すと${\boxed{\text{ア}}}_{(2)}$となる．このとき，$a_2$を$2$進法で表すと${\boxed{\text{イ}}}_{(2)}$であり，$10$進法で表すと$\boxed{\text{ウ}}$となる．以降の項を$10$進法で表すと$a_3=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$a_4=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$a_8=\boxed{\text{カ}}$である．

　$n\geqq \boxed{\text{キ}}$のとき，$a_1$の値によらず$a_n=0$である．$n\geqq 6$のとき$a_n=0$を満たす$a_1$は$\boxed{\text{ク}}$個ある．

〔2〕　$b_1$を$0$以上$127$以下の整数として，$4b_1$を$128$で割った余りを$b_2$とする．以下同様に，$n=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，$4b_n$を$128$で割った余りを$b_{n+1}$とすることで，数列$\{b_n\}$を定める．

　$n\geqq \boxed{\text{ケ}}$のとき，$b_1$の値によらず$b_n=0$である．$n\geqq 2$のとき$b_n=0$を満たす$b_1$は$\boxed{\text{コ}}$個ある．

〔３〕　$c_1$を$0$以上$80$以下の整数として，$3c_1+1$を$81$で割った余りを$c_2$とする．以下同様に，$n=2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，$3c_n+1$を$81$で割った余りを$c_{n+1}$とすることで，数列$\{c_n\}$を定める．

　$n\geqq \boxed{\text{サ}}$のとき，$c_1$の値によらず$c_n=\boxed{\text{シ}}$である．

（注：$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\boxed{\text{サ}}$は条件を満たす最小の自然数で答えよ．）

〔1〕　$f(0)=\underset{t\to +0}{\lim }f(t)=\boxed{\text{ア}}$である．

〔2〕　$0<a\leqq \pi$として，定積分$I(a)={\displaystyle {\int }_a^{\pi }}f(t)dt$を考える．$\log (1-\cos t)$の導関数が$\boxed{\text{イ}}$であるので，部分積分法を用いると，

$I(a)=\boxed{\text{ウ}}-a\log (1-\cos a)-{\displaystyle {\int }_a^{\pi }}\log (1-\cos t)dt$(1)

となる．三角関数の半角の公式を用い，$t=2x$とおいて置換積分法を用いると，

${\displaystyle {\int }_a^{\pi }}\log (1-\cos t)dt=\boxed{\text{エ}}+4{\displaystyle {\int }_{\frac{a}{2}}^{\frac{\pi }{2}}}\log (\sin x)dx$(2)

となる．

　極限$\underset{x\to +0}{\lim }I(a)$が存在すること，および$\underset{a\to +0}{\lim }a\log (1-\cos a)=0$であることを用いると，関係式(1)，(2)より，極限$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{\frac{a}{2}}^{\frac{\pi }{2}}}\log (\sin x)dx$が存在することがわかる．そこで$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{\frac{a}{2}}^{\frac{\pi }{2}}}\log (\sin x)dx=J$とおいて$J$を求める．

〔3〕　$0<b<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対し，

$K(b)={\displaystyle {\int }_b^{\frac{\pi }{2}-b}}\log (\sin x)dx\text{，}$$L(b)={\displaystyle {\int }_b^{\frac{\pi }{2}-b}}\log (\cos x)dx$

とする．まず，$y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x$とおいて置換積分法を用いると，

$K(b)-L(b)=\boxed{\text{オ}}$

がわかる．一方，和については，三角関数の倍角の公式を用い，$2x=t$とおくと，

$K(b)+L(b)={\displaystyle {\int }_{2b}^{\frac{\pi }{2}}}\log (\sin t)dt+\boxed{\text{カ}}$

となる．

これらより，$\underset{b\to +0}{\lim }K(b)=\boxed{\text{キ}}$となる．

〔4〕　$J=\underset{b\to +0}{\lim }K(b)$と関係式(1)，(2)より，

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f(t)dt=\underset{a\to +0}{\lim }I(t)=\boxed{\text{ク}}$

が得られる．

$\text{①}$　$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$である．

$\text{②}$　$\mathrm{A}$が$\mathrm{C}$に勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．

$\text{③}$　$\mathrm{A}$が$\mathrm{D}$に勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

$\text{④}$　$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$3$チームにおけるどの組合せも互いに勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

〔1〕　春の大会では，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$から選ぶすべての組合せについて$1$回ずつ試合を行い，最も勝ち数の多いチームを優勝とする．ただし，複数のチームの勝ち数が最大である場合は，勝ち数が最大のチームすべてが優勝とする．

　すべての試合数は$\boxed{\text{ア}}$である．$\mathrm{A}$が全勝する確率は$\boxed{\text{イ}}$である．$\mathrm{A}$が$\mathrm{C}$のみに負けるが，$\mathrm{C}$が全勝しない確率は$\boxed{\text{ウ}}$である．春の大会で，$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\boxed{\text{エ}}$である．

〔2〕　秋の大会では，くじで$2$チームずつに分かれて$1$回戦を行い，$1$回戦の勝者どうしで$2$回戦を行ってその勝者を優勝とする．

　$\mathrm{A}$が$1$回戦で$\mathrm{B}$と対戦し，かつ$2$回戦で$\mathrm{C}$と対戦する確率は$\boxed{\text{オ}}$である．秋の大会で，$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

〔3〕　$\mathrm{A}$が${\mathrm{A}}^{\prime }$チームと交代して，${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$が大会に参加する．大会のルールは変わらず，${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がそれぞれ対戦したときに，対戦空いてに勝つ確率は，${\mathrm{A}}^{\prime }$については次の${\text{①}}^{\prime }\text{〜}$${\text{③}}^{\prime }$のとおりであり，その他については$\text{④}$のままである．

${\text{①}}^{\prime }$　${\mathrm{A}}^{\prime }$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は$p$である．

${\text{②}}^{\prime }$　${\mathrm{A}}^{\prime }$が$\mathrm{C}$に勝つ確率は$q$である．ただし$q<{\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

${\text{③}}^{\prime }$　${\mathrm{A}}^{\prime }$が$\mathrm{D}$に勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

　春の大会で${\mathrm{A}}^{\prime }$が優勝する確率が${\displaystyle \frac{49}{100}}$であり，秋の大会で${\mathrm{A}}^{\prime }$が優勝する確率が${\displaystyle \frac{23}{75}}$であるならば，$p=\boxed{\text{キ}}$である．