2019　立命館大　文系学部Ａ方式2月2日実施MathJax

【１】

〔1〕　$2$つの変量$x\text{，}$$y$の値の組を$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}$$(x_3,y_3)$とする．$x\text{，}$$y$の平均値をそれぞれ$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$とする．

　$\bar{x}=2\text{，}$$\bar{y}=5\text{，}$また，${x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2=14\text{，}$${y_1}^2+{y_2}^2+{y_3}^2=77$のとき，変量$x$の標準偏差$s_x$の値は$\boxed{\text{ア}}\text{，}$変量$y$の標準偏差$s_y$の値は$\boxed{\text{イ}}$となる．さらに，$x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3=28$のとき，変量$x$と$y$の共分散$s_{xy}$の値は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$相関係数$r_{xy}$の値は$\boxed{\text{エ}}$となる．

【１】

〔2〕　$x$についての$2$次方程式

$x^2+2(2\sin \theta +1)x-(\cos 2\theta -\sin \theta -4)=0\cdots \text{①}$

がある．ただし，$0\leqq \theta \leqq 2\pi$とする．

　方程式$\text{①}$が実数解をもつとき，$\theta$のとり得る値の範囲は，

$\boxed{\text{オ}}\leqq \theta \leqq \boxed{\text{カ}}$

である．

　次に，方程式$\text{①}$の実数解を$\alpha \text{，}$$\beta$とし，$(\alpha +1)(\beta +1)$を$\sin \theta$だけを用いて表すと，$\boxed{\text{キ}}$となる．

　したがって，$(\alpha +1)(\beta +1)$の最大値は$\boxed{\text{ク}}\text{，}$最小値は$\boxed{\text{ケ}}$となる．

【１】

〔3〕　関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx$が$x=-4$と$x=2$で極値をとるとき，$a=\boxed{\text{コ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{サ}}$である．

　$y=f(x)$のグラフにおいて，点$(1,f(1))$における接線を$l$とする．この接線$l$の方程式を求めると，$y=-\boxed{\text{シ}}x-\boxed{\text{ス}}$になる．$y=f(x)$のグラフと接線$l$で囲まれた面積は$\boxed{\text{セ}}$である．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$の$6$名の候補者から$2$名を選出することを考える．

〔1〕　$6$本中$2$本が「当選」のくじを準備し，$6$名の候補者が一斉に$1$本ずつくじを引いて，「当選」くじを引いた人が選出されるとする．

　このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名が同時に当選する確率は$\boxed{\text{ア}}$であり，$\mathrm{B}$が当選したときに$\mathrm{A}$も当選している確率は$\boxed{\text{イ}}$である．

〔2〕　$45$名の投票者が，$6$名の候補者の中から$1$名ずつを選んで投票した後，得票数順に上位$2$名を当選者とする．なお，候補者の得票数が$0$となる場合もある．

　投票結果は次の通りである．

・投票総数は$45$で無効票はない．

・候補者$6$名の得票数はそれぞれ異なる．

　このとき，他の候補者の得票数にかかわらず，常に$\mathrm{A}$が当選するために必要な$\mathrm{A}$の得票数の最小値は$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名とも当選する場合，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の得票数の和の最小値は$\boxed{\text{エ}}$である．

〔3〕　候補者はそれぞれ，政党$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$Z$のどれか$1$つに所属しており，投票が政党に対して行われる場合を考える．各政党の得票率に基づき，次の$\text{①}$と$\text{②}$の規則にしたがって$2$名の候補者を決めるものとする．なお，各政党の得票率はそれぞれ異なる$0$以上の値をとり，その和は$1$であるものとする．また，$\boxed{\text{オ}}\text{，}$$\boxed{\text{カ}}\text{，}$$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}$は実数$d$$\text{（}d>1\text{）}$を用いて，条件を満たす最小の値で答えるものとする．

$\text{①}$　まず，最も得票率が高い政党（これを$\mathrm{R}$党とし，その得票率を$r$とする）に所属する候補者のうち$1$名を当選者とする．

$\text{②}$　次に，$r$をある$d$で割った値が，他のどの政党の得票率よりも大きければ，$\mathrm{R}$党に所属する候補者をもう$1$名当選とする．そうでなければ，$\mathrm{R}$党以外で最も得票率が高い政党に所属する候補者のうち$1$名を当選とする．

(a)　まず，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$\mathrm{X}$党，$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$が$Y$党に所属している（$Z$党には誰も所属せず，$Z$党に投票されることはない）とする．以下，$\mathrm{X}$党の得票率を$x$とおくと，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のうち少なくとも$1$名が当選する場合，得票率のとり得る値の範囲は$x>\boxed{\text{カ}}$である．

(b)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が$\mathrm{X}$党，$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$が$\mathrm{Y}$党，$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$が$\mathrm{Z}$党に所属しているとする．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のうち少なくとも$1$名が当選する場合，得票率$x$のとり得る値の範囲は$x>\boxed{\text{キ}}$である．また，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$名とも当選する場合，得点率のとり得る範囲は$x>\boxed{\text{ク}}$である．

【３】　$1$つの袋に$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$個のボールが入っている．この中から$3$個のボールを同時に取り出し，ボールに書かれた数字を記録してもとの袋に戻す．この試行を$n$回繰り返し，記録した$3n$個の数字の和が$3$の倍数となる確率を$P_n$とする．ただし，ボールを取り出す確率は同様に確からしい．このとき，次の問いに答えよ．

〔1〕　$1$回の試行で取り出した$3$個のボールに書かれた数字すべてが，$3$の倍数となる確率，$3$で割って$1$余る数となる確率，$3$で割って$2$余る数となる確率をそれぞれ求めよ．

〔2〕　$1$回の試行で取り出した$3$個のボールに書かれた数字の和が，$3$で割って$1$余る数となる確率を求めよ．

〔3〕　$P_1\text{，}$$P_2$の値を求めよ．

〔4〕　$P_{n+1}$と$P_n$の関係式を求めよ．

〔5〕　$P_n$を$n$の式で表せ．