2019　立命館大　文系学部Ａ方式2月1日実施MathJax

【１】

〔1〕　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$はいずれも正の整数である．$3$次関数$y=x^3+a{x}^2+bx+c$が極大値と極小値をもつ条件は，$b<\boxed{\text{ア}}$である．

　$a=4$とするとき，この$3$次関数が極大値と極小値をもつ場合に，$b$のとり得る値は$\boxed{\text{イ}}$個あり，そのうち$b$が最大値をとるとき，極大値は$\boxed{\text{ウ}}\text{，}$極小値は$\boxed{\text{エ}}$となる．このとき，方程式$y=0$が重解をもつなら，$c$は正の整数より，$c$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【１】

〔2〕　中心$\mathrm{O}$の円$O$に内接している$\mathrm{▵ABC}$を考える．$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=8\text{，}$$\mathrm{CA}=5$のとき，$\mathrm{OC}=\boxed{\text{カ}}$となり，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\boxed{\text{キ}}$になる．また，$\mathrm{▵ABC}$に内接する円$Q$の半径は$\boxed{\text{ク}}$であり，円$O$の面積は，円$Q$の面積の$\boxed{\text{ケ}}$倍になる．

【１】

〔3〕　$2019$年$2$月の数字を並べてできる整数$20192$について考える．

(a)　$20192$は，$20192=2^{\boxed{\text{コ}}}\times N_1$（ただし$N_1$は奇数）と表せる．

　ここで，$N_1\leqq n^2$を満たす最小の正の整数は，$n=\boxed{\text{サ}}$である．また$\boxed{\text{サ}}$以下の素数は，$\boxed{\text{シ}}$個ある．$N_1$は，整数の範囲で，$\boxed{\text{サ}}$以下の$\boxed{\text{ス}}$ので，$\boxed{\text{セ}}\text{．}$ただし，$\boxed{\text{ス}}$は$\mathrm{A}$群，$\boxed{\text{セ}}$は$\mathrm{B}$群から適切なものを$1$つ選び，番号で答えよ．

(b)　次に，$20192=8\times N_2$（ただし$N_2$は整数）と表すと，

$N_2=\boxed{\text{ソ}}\times 7^4+0\times 7^3$$+\boxed{\text{タ}}\times 7^2$$+3\times 7+\boxed{\text{チ}}$

となる．よって，$20192$を$7$進法で表記すると，${\boxed{\text{ツ}}}_{(7)}$となる．

　ただし，$\boxed{\text{ソ}}$は$1$以上で$6$以下の整数，$\boxed{\text{タ}}$と$\boxed{\text{チ}}$はいずれも$0$以上で$6$以下の整数とする．

（注：$17$を$7$進法で表記すると，${23}_{(7)}$と表される．）

【２】　複数の都市を巡回するルートを考える．いま，$xy$座標平面上で，都市の位置を$(x,y)$で表し，原点$\mathrm{O}$を出発点とする．各都市の間は最短距離で移動できるものとする．このとき，次の問いに答えよ．

〔1〕　$3$つの都市$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を考え，それぞれの位置の座標を都市$\mathrm{A}$は$(1,3)\text{，}$都市$\mathrm{B}$は$(2,-2)\text{，}$都市$\mathrm{C}$は$(-4,1)$とする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の都市をそれぞれ$1$回ずつ訪れて，ふたたび原点$\mathrm{O}$に戻る巡回ルートは$\boxed{\text{ア}}$通りある．ただし，あるルートとその逆の向きのルートは同じものと考える．例えば$\mathrm{O}\to \mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{O}$に対して$\mathrm{O}\to \mathrm{C}\to \mathrm{B}\to \mathrm{A}\to \mathrm{O}$のルートは同じものと考える．最も移動距離の短い巡回ルートは$\mathrm{O}\to \boxed{\text{イ}}\to \boxed{\text{ウ}}\to \boxed{\text{エ}}\to \mathrm{O}$となる．ただし，$\boxed{\text{イ}}$はアルファベット順において$\boxed{\text{エ}}$よりも前に出てくるアルファベットとすること．

〔2〕　都市の数が$10$あるとすると，それぞれの都市を$1$回ずつ訪れてふたたび原点に戻る巡回ルートの数は

$2^{\boxed{\text{オ}}}\times 3^{\boxed{\text{カ}}}\times 5^{\boxed{\text{キ}}}\times 7^{\boxed{\text{ク}}}$

となる．ここでも，あるルートとその逆の向きのルートは同じものと考える．これは$\boxed{\text{ケ}}$桁の数となる．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}7=0.8451$とする．ただし，ある数$x$について，$x=x^1$と表す．

【３】　図のような四面体$\mathrm{OABC}$があり，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=2$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

〔1〕　$3$つの内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$の値をそれぞれ求めよ．

〔2〕　平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{H}$について，$\mathrm{CH}$と平面$\mathrm{OAB}$が垂直であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

〔3〕　辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．平面$\mathrm{OAB}$上に点$\mathrm{P}$を$\mathrm{CP}+\mathrm{MP}$が最小となるように定めるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．