2019　南山大　外・総政2月13日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{CD}=5\text{，}$$\mathrm{DA}=3\text{，}$$\mathrm{\angle B}=60\mathrm{°}$とする．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{ア}}$であり，$\mathrm{BD}=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$x$についての$3$次の整式$f(x)$がある．$f(x)+1$は${(x-1)}^2$で割り切れ，$f(x)-1$は$x-2$で割り切れ，$f(x)-11$は$x-3$で割り切れる．このとき，$f(x)=\boxed{\text{ウ}}$である．また，関数$f(x)$の極大値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$2$つの円$C_1\text{：}{x}^2+y^2-10=0$と$C_2\text{：}{x}^2+y^2-6x+12y+20=0$の異なる$2$つの共有点を$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$とする．このとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$および点$(4,0)$の$3$点を通る円$C_3$の半径は$\boxed{\text{オ}}$であり，$C_3$の中心と直線$\mathrm{AB}$の距離は$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　関数$y=-3\cos 2\theta +4\cos \theta$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$の最小値は$\boxed{\text{キ}}$である．また，$0\leqq \theta <2\pi$のとき，$\theta$についての方程式$-3\cos 2\theta +4\cos \theta =a$が異なる$4$個の解をもつような定数$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　連立方程式

$\{\begin{array}{l}{\log }_{\sqrt{3}}(x^2+\sqrt{2}x+2)-2{\log }_{3}x={\log }_{\sqrt{3}}\sqrt{18}\\ {\log }_{\sqrt{3}}\left({\displaystyle \frac{x^2+\sqrt{2}x+2}{y}}\right)-2{\log }_{3}x=6\end{array}$

を解くと，$x=\boxed{\text{ケ}}$であり，$y=\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　座標平面上に，$k$を正の実数とする放物線$C_1\text{：}y=x^2+k^2$と放物線$C_2\text{：}y=x^2$がある．

(1)　$C_1$上の点$\mathrm{P}$$(p,p^2+k^2)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$l$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{A}$の$x$座標は$\mathrm{B}$の$x$座標より小さいものとする．

(3)　$\mathrm{P}$の$x$座標と同じ$x$座標をもつ点$\mathrm{Q}$を$C_2$上にとる．直線$\mathrm{AQ}$と直線$\mathrm{QB}$の方程式をそれぞれ求めよ．

(4)　$\mathrm{AQ}$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S_1$と，$\mathrm{QB}$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S_2$をそれぞれ求めよ．

(5)　$S_1+S_2=9$であるとき，$k$の値を求めよ．