2019　南山大　法，国際教養2月12日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とする．整式$P(x)=(x-a)(x-b)+c$は，$P(0)=-c+3$を満たし，$xP(x)$は$x-1$で割り切れる．このとき，$P(1)$の値を求めると$P(1)=\boxed{\text{ア}}$であり，$a+b+c$の値を求めると$a+b+c=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　実数$x\text{，}$$y$は，$x^{3}y=32\text{，}$$x\geqq 1\text{，}$$y\geqq 2$を満たすとする．このとき，${\log }_{2}x$のとりうる値の範囲を求めると$\boxed{\text{ウ}}$である．また，$z={\log }_{2}x\cdot {\mathrm{Iog}}_{2}y$のとりうる値の範囲を求めると$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　長さ$6$の線分$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる．線分$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{CB}$をそれぞれ直径とする$2$つの円の円周の和を求めると$\boxed{\text{オ}}$であり，$2$つの円の面積の和が最小となるときの$\mathrm{AC}$の長さを求めると$\mathrm{AC}=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　座標平面上に$2$点$\mathrm{A}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(8,0)$と$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は$\mathrm{AP}=3\text{，}$$\mathrm{BQ}=5\text{，}$$\mathrm{PQ}=2$を満たすように動くとする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるとき，$\mathrm{▵AQB}$の面積を求めると$\boxed{\text{キ}}$である，また，$\cos \mathrm{\angle PAB}$のとりうる値の範囲を求めると$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　関数$f(x)=x^3-x$を考える．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$$(a,a^3-a)$における接線の方程式を$y=g(x)$とする．

(1)　$g(x)$を$a$と$x$で表せ．

(2)　曲線$y=f(x)$と接線$y=g(x)$の共有点の$x$座標を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }(f(x)-g(x))\mathit{dx}$を求めよ．

(4)　$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，定積分$S={\displaystyle {\int }_{-1}^1}|f(x)-g(x)|\mathit{dx}$を$a$で表せ．また，$S$を最小にする$a$の値と，$S$の最小値を求めよ．