2019　南山大　人文学部2月10日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$2$次方程式$x^2-4x+7=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．$(\alpha +\beta i)(\alpha -\beta i)$の値を求めると$(\alpha +\beta i)(\alpha -\beta i)=\boxed{\text{ア}}$であり，${\displaystyle \frac{{\beta }^2}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{\beta }}$の値を求めると${\displaystyle \frac{{\beta }^2}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{\beta }}=\boxed{\text{イ}}$である．ここで，$i$は虚数単位である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$を実数とする．$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$は$x=2$で最小値$3$をとり，そのグラフが点$(1,5)$を通るとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めると$(a,b,c)=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$2$次関数$y=x^2-2dx+d^2+5d+4$の$0\leqq x\leqq 1$における最小値が$0$であるとき，$d$の値を求めると$d=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　関数$y=2{\cos }^2\theta -\sqrt{3}\sin 2\theta -\sqrt{3}\cos \theta +\sin \theta$を考える．$x=\sqrt{3}\cos \theta -\sin \theta$とするとき，$y$を$x$の$2$次式で表すと$y=\boxed{\text{オ}}$となる．$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，$y$の最大値$M$とそのときの$\theta$の値を求めると$(M,\theta )=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　$3$つの正の数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が$x^{yz}=y^2\text{，}$$y^{zx}=z^3\text{，}$$z^{xy}=x^4$を満たしている．${\log }_{10}x\cdot {\log }_{10}y\cdot {\log }_{10}z\ne 0$のとき，$xyz$の値を求めると$xyz=\boxed{\text{キ}}$である．また，${\log }_{10}x\cdot {\log }_{10}y\cdot {\log }_{10}z=0$のとき，$xyz$の値を求めると$xyz=\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　実数$a$に対して，関数$f(x)=2x^3+(a^2-a)x^2-(4a+2)x+6$を考える．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．また，$f^{\prime }(1)=0$となるような$a$の値をすべて求めよ．

(2)　(1)で求めた$a$の値のうち小さい方で定められる$y=f(x)$のグラフを$C_1\text{，}$大きい方で定められる$y=f(x)$のグラフを$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の交点の座標を求めよ．

(3)　(2)のとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．