2019　南山大　経営，外国語学部2月11日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数，$i$を虚数単位とする．${\displaystyle \frac{2-3i}{3-2i}}=a+bi$とすると，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$a^2+b^2=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　方程式

$({\log }_{10}{\displaystyle \frac{x}{18}})({\log }_{10}{\displaystyle \frac{x}{9}})=6{({\log }_{10}2)}^2$

の解は$x=\boxed{\text{ウ}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}$である．ただし，$\boxed{\text{ウ}}<\boxed{\text{エ}}$とする．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$x$を実数とする．方程式$\left|\right|x-1|-2|=3$の解をすべて求めると$x=\boxed{\text{オ}}$である．また，方程式$\left|\right|x-1|-2|=-3(x-1)$の解をすべて求めると$x=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　曲線$C\text{：}y=-x^2+4x-3$がある．$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，$S=\boxed{\text{キ}}$である．また，直線$l\text{：}y=a(x-3)$が$x<3$で$C$と共有点をもち，$l$と$C$で囲まれた部分の面積が${\displaystyle \frac{S}{8}}$であるとき，実数$a$の値を求めると$a=\boxed{\text{ク}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$3$つの点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{Q}$$(\cos (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}),\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\left)\right)$がある．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$とする．$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$\mathrm{▵AOP}$の面積は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$\mathrm{▵AOQ}$の面積が$\mathrm{▵AOP}$の面積の$2$倍に等しくなるとき，$\theta =\boxed{\text{コ}}$である．

【２】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+{\displaystyle \frac{15}{2}}$と直線$l\text{：}3ax-3y+22=0$がある．ただし，$a$は実数とする．

(1)　$l$は$a$の値に関係なく，定点$\mathrm{A}$を通る．$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+{\displaystyle \frac{15}{2}}$の極値と，極値を与える$x$の値を求めよ．

(3)　$C$と$x$軸の共有点の座標を求めよ．

(4)　$l$が$C$と接するとき，$l$の方程式を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$3$つのベクトル

$\overrightarrow{a}=(1,1,0)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(0,1,1)\text{，}$$\overrightarrow{c}=(-1,0,-2)$

が与えられている．$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$の両方に垂直で$x$成分が$1$のベクトルを$\overrightarrow{d}$とし，$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$の両方に垂直で$z$成分が$1$のベクトルを$\overrightarrow{e}$とする．$\overrightarrow{d}$を成分表示すれば$\overrightarrow{d}=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$s\text{，}$$t\text{，}$$u$を実数として$\overrightarrow{e}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$とすると，$(s,t,u)=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　関数$f(x)=({\log }_{10}{\displaystyle \frac{x}{18}})({\log }_{10}{\displaystyle \frac{x}{9}})$は最小値$-{\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{2}}\right)}^2$をとる．ただし，$\boxed{\text{オ}}>0$とする．また，$n\leqq 10\times \boxed{\text{オ}}<n+1$を満たす整数$n$は，$n=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$1$個のさいころを投げて

偶数の目が出たときは，$\mathrm{P}$は出た目の数だけ正の方向に進み，

奇数の目が出たときは，$\mathrm{P}$は出た目の数だけ負の方向に進む．

さいころを続けて投げて，$\mathrm{P}$が原点に戻っているためには，少なくとも$\boxed{\text{ケ}}$回投げなければならない，また，さいころを続けて$\boxed{\text{ケ}}$回投げて$\mathrm{P}$が原点に戻っている確率は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　$2$つの数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$と$\{b_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$は次の条件を満たす．

$a_1=1\text{，}$$b_1=0\text{，}$

$a_{n+1}=3a_n-b_n\text{，}$$b_{n+1}=-6a_n+4b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2\text{，}$$b_2$の値を求めよ．

(2)　数列$\{c_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を$c_n=a_n+{\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_n$によって定める．$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　$\{b_n\}$の一般項を求めよ．