2019　南山大　理工A2月10日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$a={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}-1}}$の整数部分を$b\text{，}$小数部分を$c$とするとき，$(b,c)=\boxed{\text{ア}}$である．このとき，$(a+c)(x+y+1)+(a-c)(x-y-1)+2b=0$が成り立つような有理数$x\text{，}$$y$の値を求めると$(x,y)=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$\cos \theta -\sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$のとき，$\sin \theta \cos \theta =\boxed{\text{ウ}}$であり，$\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　数列$\{a_n\}$を

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n}{a_n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$で表すと$b_{n+1}=\boxed{\text{オ}}$であり，$\{a_n\}$の一般項を求めると$a_n=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　次のデータは，ある製品の$1$日当たりの売上個数を$5$日間にわたって調べたものであり，その平均値は$88$である．

$97887579x$

このとき，$x$の値は$x=\boxed{\text{キ}}$である．さらに，これらの$5$個の値からなるデータの標準偏差を求めると$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$を考える．実数$s$$\text{（}0<s<1\text{）}$について，辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{OP}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$\left|\overrightarrow{b}\right|=4\left|\overrightarrow{a}\right|$とし，$\mathrm{\angle AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$s$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$と$\overrightarrow{a}$が直交するとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$を$\left|\overrightarrow{a}\right|$と$s$で表せ．

(3)　(2)のとき，$\cos \mathrm{\angle AOC}$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|\text{，}$$s$で表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$と$\overrightarrow{b}$がそれぞれ直交し，$\mathrm{\angle AOC}=\mathrm{\angle BOC}$であるとき，$s$の値を求めよ．

【３】　$n$は$0$以上の整数とし，$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^n{e}^{-x}\mathit{dx}$とする．

(1)　$I_0$の値を求めよ．

(2)　$n\geqq 1$のとき，$I_n$を$n$と$I_{n-1}$で表せ．

(3)　$I_1$と$I_2$の値を求めよ．

(4)　$\cos \theta =x$と置き換えることにより，定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}({\cos }^3\theta \sin \theta )e^{-\cos \theta }\mathit{d\theta }$

の値を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2^n}{1-{(-3)}^n}}$の値は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}+1}}\right)}^{n-1}$の和を求めて分母を有理化すると$\boxed{\text{コ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(6)　コインを最大$10$回まで投げ，表の出た回数が合計$2$回になったら投げることを止める．このとき，ちょうど$3$回投げて止める確率は$\boxed{\text{サ}}$であり，$10$回投げる確率は$\boxed{\text{シ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(7)　自然数$n$に対して，$n$の正の約数全体の集合を$D(n)$と表す．例えば，$D(12)=\{1,2,3,4,6,12\}$である．$D(1800)$の要素の個数は$\boxed{\text{ス}}$であり，$D(1800)\cap D(336)=D(m)$が成り立つような自然数$m$は$m=\boxed{\text{セ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(8)　複素数平面上に$3$点$\mathrm{0}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$があり，$\alpha =\sqrt{3}+i\text{，}$$\beta =\sqrt{3}-i$である．$\mathrm{▵OAB}$の重心を点$\mathrm{C}(\gamma )$とすると，$\gamma$の値は$\gamma =\boxed{\text{ソ}}$である．また，線分$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{D}(\delta )$が$\left|\delta \right|=|\delta -\gamma |$を満たすとき，$\delta$の値は$\delta =\boxed{\text{タ}}$である．