2019　南山大　経営，外国語学部2月9日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　実数$x\text{，}$$y$が$x^2+{(y-2)}^2=5$を満たす．このとき，$y$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ア}}$であり，$2x+y=k$とすると$k$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\mathrm{CA}=6$とする．このとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\boxed{\text{ウ}}$であり，$\mathrm{▵ABC}$の内接円の半径は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　$a$は定数とする．直線$(a+3)x+(a+1)y=5a+3$は，$a$の値に関係なく定点を通る．その定点の座標は$\boxed{\text{オ}}$である．また，この直線が点$(1,3)$を通るとき，$a=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　${12}^{100}$は$\boxed{\text{キ}}$桁の整数である．また，${(1.2)}^n>10000$を満たす最小の整数$n$の値は，$n=\boxed{\text{ク}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　たての長さ$a\text{，}$よこの長さ$b\text{，}$高さ$c$の直方体がある．$a+b+c=15$かつ$a:b=2:3$であるとき，$a$のとりうる値の範囲は$0<a<\boxed{\text{ケ}}$であり，この直方体の体積が最大になるのは，$a=\boxed{\text{コ}}$のときである．

【２】　$a\text{，}$$b$を定数とする$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+3$を考える．

(1)　$a=-3\text{，}$$b=--1$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．

(2)　導関数$f^{\prime }(x)$の最小値を$a$と$b$で表せ．

(3)　$f(x)$が極値をもつとき，$a\text{，}$$b$の満たす条件を求めよ．

(4)　(3)のとき，$x=\alpha$と$x=\beta$で$f(x)$は極値をもつとする．ただし，$\alpha <\beta$である．$\beta -\alpha$を$a$と$b$で表せ．

(5)　(3)および(4)のとき，$|f(\alpha )-f(\beta )|$を$a$と$b$で表せ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　右の図のような道のある町がある．地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く道順は全部で$\boxed{\text{キ}}$通りある．また，このうち地点$\mathrm{P}$と地点$\mathrm{Q}$のどちらも通らない道順は全部で$\boxed{\text{ク}}$通りある．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，$\overrightarrow{\mathrm{EC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{EC}}=p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AE}}$と表す．このとき，実数$p\text{，}$$q$の値は$(p,q)=\boxed{\text{ケ}}$であり，実数$s\text{，}$$t$の値は$(s,t)=\boxed{\text{コ}}$である．ただし，$\cos 36\mathrm{°}={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$である．

【３】　以下に定める数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=7\text{，}$

$a_{n+1}=a_n+a_1\times 3^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2\text{，}$$a_3$の値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(5)　$a\text{，}$$b$を定数とする関数$f(x)=x+a-{\displaystyle \frac{b}{x+1}}$について，$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x-1}}=3$が成り立つとき，$a$と$b$の値は$(a,b)=\boxed{\text{ケ}}$である。また，$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{{(x-1)}^2}}$が有限な値になるとき，その極限値は$\boxed{\text{コ}}$である．

【３】　曲線$C_1$を$y=\log x\text{，}$曲線$C_2$を$y=\log x^2$とし，$C_1$と$C_2$の両方に接する直線を$l$とする。ただし，$x>0$とする．

(1)　$s$を正の実数として，$C_1$上の点$(s,\log s)$における接線の方程式を$s$で表せ．

(2)　$t$を正の実数として，$C_2$上の点$(t,\log t^2)$における接線の方程式を$t$で表せ．

(3)　$l$の方程式を求めよ．

(4)　$C_1\text{，}$$C_2$および$l$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．