2019　南山大　全学統一入試　2月7日実施MathJax

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数とする．$3$次方程式$x^3-\sqrt{6}{x}^2+ax+b=0$は，$1$つの実数解と$2$つの虚数解を持ち，$3$つの解の実部は等しく，虚数解の虚部の絶対値は実部の$\sqrt{3}$倍である．このとき，この方程式の解を求めると$x=\boxed{\text{ア}}$であり，$a$と$b$の値を求めると$(a,b)=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{CD}=9\text{，}$$\mathrm{DA}=2$とする．このとき，$\cos \mathrm{\angle BCD}$の値を求めると$\cos \mathrm{\angle BCD}=\boxed{\text{ウ}}$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めると$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　袋の中に赤球$3$個，白球$2$個，黒球$1$個が入っている．この袋から$2$個の球を取り出すとき，球の色が異なる確率は$\boxed{\text{オ}}$である．また，この袋から$3$個の球を取り出すとき，球の色が$2$色以上である確率は$\boxed{\text{カ}}$である．

【２】　曲線$C_1\text{：}y=x^2-2x$と直線$l\text{：}y=2x+2$を考える．$C_1$を$y$軸方向に平行移動してできる曲線$C_2\text{，}$および$C_1$を$x$軸方向に平行移動してできる曲線$C_3$はどちらも直線$l$に接する．

(1)　$C_1$上の点$(a,a^2-2a)$における接線が$l$に平行であるとき，$a$の値とその接線の方程式を求めよ．

(2)　$C_2$の方程式を求めよ．

(3)　$C_3$の方程式を求めよ．

(4)　$C_2$と$C_3$と$l$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(1)　$a+b=\sqrt{7}\text{，}$$ab=2$のとき，$a^2+b^2=\boxed{\text{ア}}$であり，$a^3+b^3=\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(2)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．方程式$\sin 2\theta ={(\sin \theta -\cos \theta )}^2$の解は$\theta =\boxed{\text{ウ}}$である．また，不等式$\cos 3\theta +2\cos \theta >0$が成り立つような$\theta$の範囲は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(3)　座標平面上に直線$l\text{：}y=-2x$がある．原点を通り$l$に垂直な直線$m$の方程式は$\boxed{\text{オ}}$である．また，点$(1,b)$が$l\text{，}$$m$から等しい距離にあるとき，$b=\boxed{\text{カ}}$である．

【１】　$\boxed{}$の中に答を入れよ．

(4)　男子$6$名，女子$9$名の合計$15$名の生徒がいる．女子$9$名を$3$名ずつの$3$グループに分ける分け方は$\boxed{\text{キ}}$通りある．また，男子$2$名女子$3$名の$5$名ずつの$3$グループに分ける分け方は$\boxed{\text{ク}}$通りである．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に平行六面体$\mathrm{OABC‐DEFG}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$で表せ．

(2)　線分$\mathrm{AG}$の中点$\mathrm{M}$が線分$\mathrm{OF}$上にあることを示せ．

(3)　四角形$\mathrm{OABC}$の面積$S$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|$と内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$で表せ．

(4)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の座標が，それぞれ$\mathrm{A}$$(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,2,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(2,1,4)$であるとき，$\mathrm{D}$から$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が定める平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{c}$とおいて，$s\text{，}$$t$の値と$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

【３】　実数全体で定義された関数$f(x)$が，導関数$f^{\prime }(x)\text{，}$第$2$次導関数$f^{″}(x)$をもつとする．また，曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))$における接線$l$と$y$軸との交点を$(0,g(t))$と表す．

(1)　$l$の方程式を求め，$g(t)$を$t\text{，}$$f(t)\text{，}$$f^{\prime }(t)$で表せ．

(2)　$g^{\prime }(t)$を$t$と$f^{″}(t)$で表せ．

(3)　$f(x)=e^{-x^2}$のとき，$g(t)$と$g^{\prime }(t)$を求めよ．

(4)　$t$が実数全体を動くとき，(3)の$g(t)$の最大値を求めよ．