2019　早稲田大学　人間科学部センター利用MathJax

【１】

(1)　$x>0\text{，}$$x\ne 1$とする．$y=1+{\log }_{3}x+{\log }_{x^2}3$とするとき，$x^y=\sqrt{3^{13}}$を満たす$x$の値を求めよ．

【１】

(2)　$41472$の正の約数はいくつあるかを求めよ．また，それらの総和を求めよ．

【２】　数列

${\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{3}{4}},{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{7}{2}},{\displaystyle \frac{5}{4}},{\displaystyle \frac{3}{6}},{\displaystyle \frac{1}{8}},\cdots$

の第$1001$項を求めよ．

【３】　関数

の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

【４】　空間内の異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は，次の条件a)，b)をともに満たす．

a)　原点$\mathrm{O}$$(0,0,0)$を中心とし，$xy$平面上の半径$6$の円周上にある．

b)　点$\mathrm{C}$$(1,1,2)$として，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角がともに$60\mathrm{°}$である．

以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle AOB}$の大きさを求めよ．ただし，$\mathrm{\angle AOB}$は鋭角とする．

(2)　点$\mathrm{P}$は半直線$\mathrm{OC}$上を動くものとする．$\mathrm{▵ABP}$の面積の最小値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【５】　$2$進数で$256$桁の数として表される最大の自然数を$M$とする．$N=M+1$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

(1)　$N$は，$16$進数では何桁の数で表されるか．

(2)　$N$は，$10$進数では何桁の数で表されるか．

(3)　$N$を$x$進数で表したときの桁数を$y$とする．このとき，積$xy$が最小となる場合の$x$の値を求めよ．ただし，$x\text{，}$$y$は自然数とする．