2019　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$を実数とする．

$2\cos \alpha \sin \beta +3\sin \alpha \sin \beta +4\cos \beta$

の最小値は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　$a$を実数とする．関数$f(x)=x^2+a$に対し，方程式

$f(f(x))=x$

の実数解の個数が，ちょうど$2$つとなる定数$a$の取り得る値の範囲は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$x$の整式で表された関数$P(x)$は，次の条件を満たしている．

(ⅰ)　$P(1)=1$

(ⅱ)　すべての実数$x$に対し，$x{\displaystyle {\int }_1^x}P(t)dt=(x-2){\displaystyle {\int }_1^{x+1}}P(t)dt$

このとき$P(x)=\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　次の条件を満たす整数$n$を$100$で割った余りは$\boxed{\text{エ}}$である．

$n\leqq {(5+2\sqrt{5})}^{2019}<n+1$

【２】　座標平面上において，放物線$y=x^2$上の点を$\mathrm{P}\text{，}$円${(x-3)}^2+{(y-1)}^2=1$上の点を$\mathrm{Q}\text{，}$直線$y=x-4$上の点を$\mathrm{R}$とする．次の設問に答えよ．

(1)　$\mathrm{QR}$の最小値を求めよ．

(2)　$\mathrm{PR}+\mathrm{QR}$の最小値を求めよ．

【３】　各項が整数である数列$\{a_n\}$が，次の条件を満たしている．

(ⅰ)　$0<a_n<a_{n+1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(ⅱ)　すべての正の整数$n$に対し，$a_n-n^2$は$5$の倍数

(ⅲ)　$a_{2019}=6056$

次の設問に答えよ．

(1)　$a_4$を$5$で割った余りを求めよ．

(2)　$a_n=2021$となる正の整数$n$を求めよ．