2019　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　$t=\tan \theta$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$とおくとき，$\tan 2\theta \text{，}$$\sin 2\theta$をそれぞれ$t$の式で表せ．

【１】　次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(2)　$x<1$のとき，$y=9\cdot {25}^x-15\cdot 5^x-5^{3x}$のとりうる値の範囲を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(3)　数列$\{a_n\}$を${\displaystyle \frac{1}{2}},$ {\displaystyle \frac{1}{3}},$$ {\displaystyle \frac{2}{3}},$$${\displaystyle \frac{1}{4}},$${\displaystyle \frac{2}{4}},$${\displaystyle \frac{3}{4}},$${\displaystyle \frac{1}{5}},$${\displaystyle \frac{2}{5}},$${\displaystyle \frac{3}{5}},$${\displaystyle \frac{4}{5}},$${\displaystyle \frac{1}{6}},$${\displaystyle \frac{2}{6}},$$\cdots$と定めるとき，$a_{220}$を求めよ．

【２】　$xy$平面上の放物線$y=x^2$を$C$とする．点$\mathrm{P}(-2,-5)$を通り，放物線$C$に接する$2$つの直線を$l_1\text{，}$$l_2$とする．直線$l_1\text{，}$$l_2$の傾きをそれぞれ$m_1\text{，}$$m_2$$\text{（}{m}_1<m_2\text{）}$とし，放物線$C$と$2$直線$l_1\text{，}$$l_2$で囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，次の各問に答えよ．答えのみ解答欄に記入せよ．

(1)　直線$l_1\text{，}$$l_2$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$C$と直線$l_1\text{，}$$l_2$の接点をそれぞれ$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}(b,b^2)$とするとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(3)　面積$S$を求めよ．

【３】　図のような円形の環状道路における店舗の立地を考える．環状道路沿いに$2$店舗（$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$）が存在し，店舗$\mathrm{P}$からみて店舗$\mathrm{A}$は時計回りに中心角$a\mathrm{°}$の位置にある．（ただし，$a$は$1$以上$180$未満の整数）．また，$3600$人の顧客が環状道路沿いに$0.1\mathrm{°}$の間隔で分布し，自分の位置から環状道路上を移動して最も近い店舗で各人$1000$円の買い物をする．ただし，店舗のある位置には顧客はいないものとし，同一地点に複数の店舗は立地できないものとする．また，最も近い店舗が$2$つある場合には，顧客はそれぞれの店舗で$500$円ずつ買い物をするものとし，店舗$\mathrm{P}$の位置は変わらないものとする．このとき，次の各問に答えよ．答えのみ解答欄に記入せよ．

(1)　$2$店舗（$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$）のみが存在するとき，店舗$\mathrm{P}$および店舗$\mathrm{A}$が得る売上をそれぞれ求めよ．

(2)　ここで，店舗$\mathrm{B}$が，店舗$\mathrm{P}$からみて時計回りに中心角$b\mathrm{°}$の位置に立地するとする（ただし，$b$は$1$以上$360$未満の整数）．このとき，店舗$\mathrm{A}$および店舗$\mathrm{B}$が得る売上をそれぞれ求めよ．また，店舗$\mathrm{B}$の売上が最大になる立地条件，すなわち，$b$についての条件を求めよ．

(3)　店舗$\mathrm{B}$の開設費用を$100$万円とする．店舗$\mathrm{B}$の利益（売上から開設費用を引いた差）がつねに負になる店舗$\mathrm{A}$の立地条件，すなわち，$a$についての条件を求めよ．

(4)　店舗$\mathrm{A}$と店舗$\mathrm{B}$の売上の合計が最大になる店舗$\mathrm{A}$と店舗$\mathrm{B}$の立地条件，すなわち，$a$と$b$についての条件を求めよ．

【４】　頂点が点$\mathrm{O}\text{，}$底面が正方形$\mathrm{ABCD}$であり，すべての辺の長さが$1$の四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$について，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とする．辺$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$について$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=x$とし，また，辺$\mathrm{CD}$上の点$\mathrm{Q}$について$\left|\overrightarrow{\mathrm{CQ}}\right|=y$とする．このとき，次の各問に答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$で表せ．

(3)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|}^2$を$x\text{，}$$y$の式で表せ．式は$x$の降べきの順に整理して記せ．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$の最小値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【５】　大中小$3$個のさいころを同時に投げ，出た目をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とし，$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$が異なる実数で，$\alpha \beta \leqq 0$となる確率を求めよ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$が異なる実数で，$\alpha \beta >0$となる確率を求めよ．

(3)　$\alpha \text{，}$$\beta$が虚数となる確率を求めよ．