2019　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】　赤玉$4$個，白玉$11$個が入っている袋がある．この袋から玉を$1$個取り出してもとに戻すことを$n$回繰り返すとき，ちょうど$3$回赤玉を取り出す確率を$p_n$とする．このとき，$n\geqq 4$において，

${\displaystyle \frac{p_n}{p_{n-1}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}n}{\boxed{\text{イ}}n-\boxed{\text{ウ}}}}$

であり，$p_n$を最大にする$n$の値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【２】　$f(x)$を

$f(x)=({\log }_2{\displaystyle \frac{x}{a}})({\log }_2{\displaystyle \frac{x}{b}})$（ただし，$ab=8\text{，}$$a>b>0\text{）}$

とする．$f(x)$の最小値が$-1$であるとき，$a^2$の値は$\boxed{\text{オ}}$である．

【３】　半径$1$の球に外接する正四面体の高さは$\boxed{\text{カ}}$である．

　次に，半径$1$の$4$つの球について考える．それら$4$つの球は互いに接しており，各球の中心$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を頂点とする立体$\mathrm{OPQR}$が正四面体となるとき，この正四面体$\mathrm{OPQR}$の高さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．また，この状態にある$4$つの球を収めることができる最小の正四面体の高さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}+\boxed{\text{サ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

【４】　$a$は正の定数とする．関数

$f(x)=\cos x\sin x+a(\sin x+\cos x)+1$$\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$

のグラフと$x$軸との交点の個数がちょうど$4$となるような，定数$a$の値の範囲は

$\boxed{\text{セ}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

である．

【５】　$3$点$\mathrm{A}(2,1,7)\text{，}$$\mathrm{B}(2,5,5)\text{，}$$\mathrm{C}(5,3,5)$を含む平面$\alpha$上を動く点$\mathrm{P}$がある．この点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}(0,0,0)$との距離$\mathrm{OP}\leqq 7\sqrt{2}$を満たすように動く．このとき，平面$\alpha$上で$\mathrm{P}$が動きうる領域の面積は$\boxed{\text{ツ}}\pi$である．また，点$\mathrm{Q}(16,10,6)$と点$\mathrm{P}$の距離$\mathrm{PQ}$の最小値は$\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}$である．

【４】　複素数平面上の点$\alpha$は，$\left|z\right|={\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$の円上を動く．$\alpha$を中心に，$\beta =\sqrt{3}i$を負の向きに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$回転して得られる点を$\gamma$とする．

　このとき，$\gamma$は，中心${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}+\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}i}{\boxed{\text{タ}}}}$で，半径${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$の円を描く．

　また，$\omega ={\displaystyle \frac{1}{\gamma }}$とするとき，$\omega$は，中心$\boxed{\text{テ}}-\sqrt{\boxed{\text{ト}}}i$で，半径$\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$の円を描く．

【５】　空間内の点$\mathrm{P}$は，長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$上と，$\mathrm{\angle APB}\geqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$となる領域を動くものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle APB}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき，$\mathrm{▵ABP}$の外接円の直径は$\boxed{\text{ニ}}$である．

(2)　点$\mathrm{P}$が動きうる領域の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}\pi +\boxed{\text{ネ}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}{\pi }^2}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．