2019　早稲田大学　理工系学部MathJax

【１】　自然数$n$について，次のような命題を考える．

(＊)　$n^2+1\text{，}$$2n^2+3\text{，}$$6n^2+5$がすべて素数である

(1)　$n=5k$（$k$は自然数）のとき，$n$は(＊)を満たさないことを示せ．

(2)　(＊)を満たすような$n$は$n=1\text{，}$$2$のみであることを示せ．

【２】　$n$は$3$以上の自然数とする．面積$1$の正$n$角形$P_n$を考え，その周の長さを$L_n$とする．次の問に答えよ．

(1)　${(L_n)}^2$を求めよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n$を求めよ．

(3)　$n<k$ならば${(L_n)}^2>{(L_k)}^2$となることを示せ．

【３】　実数$x$に対し$[x]$を$x-1<[x]\leqq x$を満たす整数とする．次の極限を求めよ．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\left[{\displaystyle \frac{1}{\sin {\displaystyle \frac{1}{n}}}}\right]$

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n\sqrt{n}}}(1+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\cdots +[\sqrt{n}])$

【４】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$に，四面体$\mathrm{PABC}$が内接している．点$\mathrm{P}$と三角形$\mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$を通る直線が球面$S$と交わる$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PO}}=\overrightarrow{p}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}=2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}$を示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{PG}}$となる$k$を，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{PG}:\mathrm{PQ}=1:3$とする．角$\mathrm{\angle APB}\text{，}$$\mathrm{\angle BPC}\text{，}$$\mathrm{\angle CPA}$に対して，次のいずれかが成り立つことを示せ．

・$3$つの角のうち，少なくとも$1$つは鋭角，少なくとも$1$つは鈍角である．

・$3$つの角は全て直角である．

(4)　$\mathrm{PG}:\mathrm{PQ}=1:3\text{，}$$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$とする．$\mathrm{PQ}$を求めよ．さらに，四面体$\mathrm{PABC}$の体積を求めよ．

【５】　実数$a$は$-\pi \leqq a\leqq \pi$の範囲にあるとする．極方程式

$r=1+\cos \theta$$(a\leqq \theta \leqq a+{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$

と表される座標平面上の曲線の長さを$l(a)$とする．次の問に答えよ．

(1)　この曲線を$x=r\cos \theta \text{，}$$y=r\sin \theta$で表したとき，$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}\right)}^2}$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$-\pi \leqq a<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$l(a)$を求めよ．

(3)　横軸$a\text{，}$縦軸$l$の座標平面上に$l=l(a)$$\text{（}-\pi \leqq a\leqq \pi \text{）}$のグラフを書き，$l(a)$の最大値，最小値を求めよ．