2019　早稲田大学　スポーツ科学部MathJax

【１】　$k>0$に対して

$f(x)={\displaystyle \frac{4^x}{k^2}}+{\displaystyle \frac{k^2}{4^x}}-2({\displaystyle \frac{2^x}{k}}+{\displaystyle \frac{k}{2^x}})$

とする．$t={\displaystyle \frac{2^x}{k}}+{\displaystyle \frac{k}{2^x}}$とおくと，$t$の最小値は$\boxed{\text{ア}}$であり，関数$f(x)$の最小値は$\boxed{\text{イ}}$である．また，

$g(x)=9^{x-1}{({\log }_2\sqrt[3]{3})}^{2x}+9^{1-x}{({\log }_{3}8)}^{2x}$$-5\{3^{x-1}{({\log }_2\sqrt[3]{3})}^x+3^{1-x}{({\log }_{3}8)}^x\}$

とすると，関数$g(x)$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

【２】　動点${\mathrm{P}}_{ij}$$\text{（}i=0\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$j=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{）}$が右の図のような道で結ばれている．この道を，始点${\mathrm{P}}_{00}$から終点${\mathrm{P}}_{53}$まで，各地点で「上方向」，「右方向」，「右上方向」のいずれかの方向を選びながら進む．

(1)　中間点${\mathrm{P}}_{41}$を通る経路の数は$\boxed{\text{オ}}$通りである．

(2)　中間点${\mathrm{P}}_{12}$を通る経路の数は$\boxed{\text{カ}}$通りである．

(3)　すべての経路のうち，$1$回も右上方向に進まない経路を選ぶ確率は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{AC}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4$とする．三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{P}\text{，}$内接円の中心を$\mathrm{I}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\boxed{\text{コ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

である．また，

$\mathrm{IP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{\boxed{\text{セ}}}}$

である．

【４】　$0\leqq x\leqq 1$について

$f(x)=|-|3x-1|+1|$

とする．$0<a<3\text{，}0<b\leqq 1$に対して

${\displaystyle {\int }_0^b}\{f(x)-ax\}dx=0$

であるとする．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{3}}<b\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$a\text{，}$$b$は

$(3a+\boxed{\text{ソ}})b^2+\boxed{\text{タ}}b+\boxed{\text{チ}}=0$

を満たす．

(2)　${\displaystyle \frac{2}{3}}<b\leqq 1$のとき，$a\text{，}$$b$は

$(a+\boxed{\text{ツ}})b^2+\boxed{\text{テ}}b+\boxed{\text{ト}}=0$

を満たす．

(3)　$a={\displaystyle \frac{7}{3}}$のとき，$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，$1$次関数$f_n(x)=x-a_n$と$2$次関数$g_n(x)=x^2-b_{n}x$を

$f_1(x)=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$g_n(x)=x^2-\{{\displaystyle {\int }_0^1}|f_n(t)|dt\}x$

$f_{n+1}(x)=x-{\displaystyle {\int }_0^1}{g}_n(t)dt$

と定める．このとき，

$b_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}+{\displaystyle \frac{1}{576}}\text{，}$$a_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}-{\displaystyle \frac{1}{1152}}$

である．

(2)　$1$次関数$f(x)=x-a$と$2$次関数$g(x)=x^2-bx$が

$f(x)=x-{\displaystyle {\int }_0^1}g(t)dt$

$g(x)=x^2-\{{\displaystyle {\int }_0^1}|f(t)|dt\}x$

を満たすとき，

$b={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}+\boxed{\text{フ}}\sqrt{\boxed{\text{ヘ}}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$

である．