2019　早稲田大学　国際教養学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式$abc<a+b+c<6$をみたす自然数の列$(a,b,c)$は全部で$\boxed{\text{ア}}$個存在する．そのうち$a+b+c$の最大値は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　等式$abc=a+b+c$をみたす自然数の列$(a,b,c)$は全部で$\boxed{\text{ウ}}$個存在する．そのうち$a+b+c$の最大値は$\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$x$が${\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq x\leqq 9$の範囲を動くとき，関数

$f(x)=({\log }_{\frac{1}{3}}9x)({\log }_{\frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{x}{3}})$

を考える．$f(x)$は$x=\boxed{\text{オ}}$のとき最大値$\boxed{\text{カ}}$をとり，$x=\boxed{\text{キ}}$のとき最小値$\boxed{\text{ク}}$をとる．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　${1.8}^n>5000$となる最小の自然数$n$は$\boxed{\text{ケ}}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　座標平面の$5$点を$\mathrm{A}(1,1)\text{，}$$\mathrm{B}(-1,1)\text{，}$$\mathrm{C}(-1,-1)\text{，}$$\mathrm{D}(1,-1)\text{，}$$\mathrm{M}(0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$とする．

(1)　$\mathrm{M}$を通る直線は$y=ax+{\displaystyle \frac{1}{2}}$と表される．このうち，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を通るものをそれぞれ$l_{\mathrm{A}}\text{，}$$l_{\mathrm{B}}\text{，}$$l_{\mathrm{C}}\text{，}$$l_{\mathrm{D}}$とする．直線$l_{\mathrm{D}}$に対応する$a$の値は$\boxed{\text{コ}}$である．

(2)　二次関数$y=f_1(x)$のグラフが，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$において，それぞれ$l_{\mathrm{A}}\text{，}$$l_{\mathrm{B}}$と接するとき$f_1(x)=\boxed{\text{サ}}$である．

(3)　二次関数$y=f_2(x)$のグラフが，点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$において，それぞれ$l_{\mathrm{C}}\text{，}$$l_{\mathrm{D}}$と接するとき$f_2(x)=\boxed{\text{シ}}$である．

(4)　原点$\mathrm{O}(0,0)$から$x$軸上を正の方向に移動する点$\mathrm{P}(t,0)$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$を考える．$y=f_1(x)$のグラフと$3$直線$l_{\mathrm{D}}\text{，}$$x=0\text{，}$$x=t$で囲まれた図形の面積が${\displaystyle \frac{13}{12}}$であるとき$t=\boxed{\text{ス}}$である．

【３】　$1$つのさいころを$4$回投げる．さいころのそれぞれの目がでる確率が等しいとする．次の問いに答えよ．

(1)　さいころの目の出方は全部で$\boxed{\text{セ}}$通りある．

(2)　複数回でる目が少なくとも$1$つある確率は$\boxed{\text{ソ}}$である．

(3)　$1$つの目が他のどの目よりも多くでる確率は$\boxed{\text{タ}}$である．

【４】　右図のように，辺の長さが$1$の正五角形を面にもつ正十二面体がある．正十二面体の各辺を次の$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{c}$を用いて表したい．次の問いに答えよ．

(1)　正五角形$\mathrm{ABCDE}$の対角線$\mathrm{AD}$の長さは$\boxed{\text{チ}}$である．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\boxed{\text{ツ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{テ}}\overrightarrow{b}$

となる．同様にベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{BG}}=\boxed{\text{ト}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ナ}}\overrightarrow{c}$

となる．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{GH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{GH}}=\boxed{\text{ニ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{ヌ}}\overrightarrow{b}+\boxed{\text{ネ}}\overrightarrow{c}$

となる．