2019　東邦大学　健康科学部看護学科A日程MathJax

【１】　$f(x)=3x^2-ax+2a$とする．ただし，$a$は実数の定数である．

(1)　$2$次方程式$f(x)=0$が虚数解をもつような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{ア}}<\boxed{\text{イウ}}$である．

(2)　$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの解の積が$36$であるとき，$a=\boxed{\text{エオ}}$であり，$2$つの解は$x=\boxed{\text{カ}}\pm \boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$である．

【２】　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{CD}=3\text{，}$$\mathrm{\angle BCD}=120\mathrm{°}$である．

(1)　対角線$\mathrm{BD}$の長さは$\sqrt{\boxed{\text{アイ}}}$である．

(2)　辺$\mathrm{AD}$の長さは$\boxed{\text{ウ}}$である．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{エオ}}\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$である．

【３】　$1$個のさいころを投げ，出た目を$X$とする．次に，$X$枚のコインを同時に投げ，表が出た枚数を$Y$とする．

(1)　$Y=4$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエオ}}}}$である．

(2)　$Y=4$であったとき，$X=4$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

【４】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$は正の整数であり，$a>b\text{，}$$c>d$である．虚数単位を$i$とする．

(1)　$(a+bi)(a-bi)=53$のとき，$a=\boxed{\text{ア}}\text{，}$$b=\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$(c+di)(c-di)={53}^2$のとき，$c=\boxed{\text{ウエ}}\text{，}$$d=\boxed{\text{オカ}}$である．

【５】　$f(\theta )={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cos \theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}}\sin \theta$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$とする．

(1)　$f(\theta )=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}\sin (\theta +{\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\pi )$である．ただし，$0\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}<2$とする．

(2)　不等式$f(\theta )>1$の解は，${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}\pi <\theta <{\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}\pi$である．

【６】　$f(x)=({\log }_{\frac{1}{2}}2x)({\log }_2{\displaystyle \frac{32}{x}})$とする．${\log }_{2}x=t$とおく．

(1)　$f(x)=t^2-\boxed{\text{ア}}t-\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$f(x)$は$x=\boxed{\text{ウ}}$で最小値$\boxed{\text{エオ}}$をとる．

【７】　円$x^2+y^2=1$と円${(x-3)}^2+y^2=9$の両方に接し，傾きが正である直線を$l$とする．

(1)　$2$つの接点の間の距離は$\sqrt{\boxed{\text{ア}}}$である．

(2)　直線$l$と$x$軸のなす鋭角を$\theta$とすると，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\text{，}$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(3)　直線$l$の方程式は$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}(x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}})$である．

【８】　$f(x)=-x^3-x^2+x$とする．

(1)　関数$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$で極大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$をとる．

(2)　曲線$y=f(x)$と直線$y=-x$は，$3$点$(-\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{カ}})\text{，}$$(0,0)\text{，}$$(\boxed{\text{キ}},-\boxed{\text{キ}})$で交わる．

(3)　曲線$y=f(x)$の$x\geqq 0$の部分と直線$y=-x$とで囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$である．