2019　東邦大学　理学部B日程共通MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$y=|x+1|$と$y=-x^2+5$の共有点の$x$座標は$-2$と$\boxed{\text{ア}}$である．また，連立不等式$y\geqq |x+1|\text{，}$$y\leqq -x^2+5$の表す領域を点$(x,y)$が動くとき，$x+2y$は最小値$\boxed{\text{イ}}$をとり，最大値$\boxed{\text{ウ}}$をとる．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵ABC}$が$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=8$になる二等辺三角形であり，半径$5$の円に内接しているとき，$\sin \mathrm{\angle BAC}=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\mathrm{BC}=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　${0.9}^n<0.001$を満たす最小の自然数$n$は$\boxed{\text{カ}}$である．ただし，${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　さいころを$2$回振り，$1$回目に出た目の数を$m\text{，}$$2$回目に出た目の数を$n$とし，$\overrightarrow{r}=(m,n)$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{v}=(\sqrt{3},-1)$と$\overrightarrow{r}$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$より大きくなる確率は$\boxed{\text{キ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　曲線$y=x^3+mx+1$が直線$y=5x-15$と接するとき，$m$の値は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

　四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たし，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{CA}}$

が成り立っているものとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\boxed{\text{ケ}}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{OC}=\boxed{\text{コ}}$である．

(ⅲ)　$\mathrm{\angle AOC}=\boxed{\text{サ}}$である．

(ⅳ)　線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{AB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とおくと，線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{RS}$は$1$点$\mathrm{M}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\boxed{\text{シ}}$となる．

(ⅴ)　(ⅳ)の$\mathrm{M}$について$\mathrm{MP}=\boxed{\text{ス}}\text{，}$$\mathrm{MS}=\boxed{\text{セ}}$となる．

【３】　$n$を負でない整数とするとき，$f(n)=3^n+1$とおく．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(n+4)-f(n)$は$10$の倍数であることを示せ．

(ⅱ)　$f(n)$の一の位を求めよ．

(ⅲ)　$n\geqq 2$のとき，$7^n+1$の十の位を求めよ．

【４】　$f(x)=(5x-x^2)e^x$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　関数$f(x)$の増減を調べよ．

(ⅲ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．