2019　東邦大学　薬学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$x^3+x-2$は$x-\boxed{\text{ア}}$で割り切れる．このことより，方程式$x^3+x-2=0$の虚数解は${\displaystyle \frac{-\boxed{\text{イ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{ウ}}}i}{2}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$\sin \theta =-{\displaystyle \frac{12}{13}}$のとき，$\cos \theta$の値は$\pm {\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}\text{カ}}}}$である．特に$180\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 270\mathrm{°}$のとき，$\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$の値は${\displaystyle \frac{-\boxed{\text{キ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ク}\text{ケ}}}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　${(\sqrt[12]{36})}^{-\frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[m]{6}}}$のとき，$m=\boxed{\text{コ}}$である．また，$\sqrt[6]{98}÷\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{2}}}\times \sqrt[3]{2\sqrt{7}}$を簡単にすると$\boxed{\text{サ}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$f(x)=x^2-2ax+7a\text{，}$$g(x)=-x^2+2ax+3a-4$とする．

(ⅰ)　直線$y=2x+1$が放物線$y=(x)$に接するとき，$a$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(ⅱ)　$2$つの放物線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$のうち，どちらか一方だけが$x$軸と共有点をもつとき，$a$の値の範囲は$-\boxed{\text{タ}}<a\leqq \boxed{\text{チ}}\text{，}$ $\boxed{\text{ツ}}\leqq a<\boxed{\text{テ}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，出た目の積が$9$の倍数となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}}}$であり，出た目の積が$144$以上となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}\text{ノ}\text{ハ}}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(6)　円$x^2+y^2=1$と直線$2x+y=a$がある．ただし$a>0$とする．

(ⅰ)　直線が円に接するとき，$a$の値は$\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}$である．

(ⅱ)　直線が円と$2$点で交わるとき，その交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を頂点とする三角形の面積を$S$とし，$S$を$a$で表すと$S={\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\sqrt{-a^4+\boxed{\text{ホ}}{a}^2}$となるから，$S$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}$である．

【１】　以下の問いに答えよ．

(7)　次の式で与えられる関数$y=f(x)$のグラフ$C$を考える．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2-3x& \text{（}x<0\text{のとき）}\\ 2x& \text{（}x\geqq 0\text{のとき）}\end{array}$

$C$上の$x<0$の部分に点$\mathrm{A}$をとり，その$x$座標を$a$とする．点$\mathrm{A}$における$C$の接線を$l$とするとき，$l$が接点以外に$C$と共有点を持つための条件は$a>-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}$である．$l$と$C$の交点の座標が$(4,8)$であるとき，$l$と$C$で囲まれる図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}$である．

【２】　$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は等比数列で，$a_2={\displaystyle \frac{8}{3}}\text{，}$$a_5={\displaystyle \frac{128\sqrt{2}}{3}}\text{，}$$b_2={\displaystyle \frac{5}{4}}\text{，}$$b_5={\displaystyle \frac{5}{32}}$である．以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1\text{，}$$C_2\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$を定数として，$a_n=C_1{\alpha }^n\text{，}$$b_n=C_2{\beta }^n$の形に表せ．

(2)　$n$を${\log }_2{a}_n$で表せ．また，$n$を${\log }_2{b}_n$で表せ．

(3)　$b_n$を$a_n$で表す式を求めよ．