2019　東邦大学　看護学部MathJax

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(1)　式$3x^2+x-2$を因数分解せよ．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(2)　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-7$の頂点の座標を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(3)　$2$進法の${10101}_{(2)}$を$10$進法で表せ．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(4)　$5$人が円形に並ぶとき，その並び方は何通りあるか．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(5)　線分$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CD}$が点$\mathrm{E}$で交わり，$\mathrm{AE}=3\text{，}$$\mathrm{BE}=6\text{，}$$\mathrm{CE}=5$である．$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$が同一円周上にあるとき，線分$\mathrm{DE}$の長さを求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(6)　式${\sin }^{2}125\mathrm{°}+{\sin }^{2}35\mathrm{°}$を簡単にせよ．

【１】　次の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(7)　$12$個のデータ$12\text{，}$$5\text{，}$$15\text{，}$$21\text{，}$$27\text{，}$$33\text{，}$$52\text{，}$$60\text{，}$$43\text{，}$$22\text{，}$$14\text{，}$$20$の第$1$四分位数，第$2$四分位数を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．（解答欄に途中の計算も書きなさい）

(1)　$-1<a<0$のとき，$0\leqq x\leqq 2$における関数$y=x^2+2ax+2$の最大値，最小値を求めよ．

【２】　次の各問に答えよ．（解答欄に途中の計算も書きなさい）

(2)　次の命題を証明せよ．

自然数$n$について，$n^2$が偶数ならば$n$も偶数である．

【２】　次の各問に答えよ．（解答欄に途中の計算も書きなさい）

(3)　$3$辺の長さが，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{CA}=2$である$\mathrm{▵ABC}$がある．さらに，$\mathrm{\angle A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．次のものを求めよ．

• [1]　$\mathrm{\angle A}$の大きさ
• [2]　$\mathrm{▵ABC}$の面積
• [3]　$\mathrm{CD}$

【２】　次の各問に答えよ．（解答欄に途中の計算も書きなさい）

(4)　$2$つの袋$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$には赤球が$5$個と白球が$3$個，$\mathrm{B}$には赤球$3$個と白球$5$個入っている．$\mathrm{A}$から任意に球を$1$個取り出して$\mathrm{B}$に入れて，次に$\mathrm{B}$から任意に球を$1$個取り出すとき，次のものを求めよ．

[1]　$\mathrm{A}$から取り出した球が赤球であったとき，$\mathrm{B}$から取り出した球が赤球である確率

[2]　$\mathrm{B}$から取り出した球が赤球である確率

[3]　$\mathrm{B}$から取り出した球が赤球であったとき，$\mathrm{A}$から取り出した球が赤球である確率

【２】　次の各問に答えよ．（解答欄に途中の計算も書きなさい）

(5)　$1$から$50$までの自然数の積を素因数分解したとき，素因数$3$はいくつあるか．

【３】　次の(1)，(2)に答えよ．

(1)　$\boxed{\text{①}}\text{〜}$$\boxed{\text{⑩}}$に線分，角，三角形等を正しく補い，結果のみ解答欄に記せ．

　図１において，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は円$O$の周上の異なる点で，点$\mathrm{M}$は中心$\mathrm{O}$から$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足とする．いま，$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{PB}<\mathrm{PA}$をみたす点$\mathrm{P}$をとる．

$\mathrm{PA}=\mathrm{MA}+\boxed{\text{①}}$

$\mathrm{PB}=\mathrm{MB}-\boxed{\text{①}}$

であり，点$\mathrm{M}$は$\mathrm{AB}$の中点だから，

$\mathrm{PA}\times \mathrm{PB}=A^2-{\boxed{\text{②}}}^2$

よって，

$\mathrm{PA}\times \mathrm{PB}={\boxed{\text{③}}}^2-{\mathrm{OP}}^2$$\cdots$(あ)

が成り立つ．同様に，$\mathrm{PB}>\mathrm{PA}$のときも(あ)は成り立つ．

　図２において，円$O$は$\mathrm{▵ABC}$の外接円，円$I$は内接円である．外接円$O$の半径は$R\text{，}$内接円$I$の半径は$r$である．点$\mathrm{H}$は，$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{AC}$と内接円$I$との接点である．いま，$\mathrm{AI}$を延長し，円$O$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{D}$から円$O$の直径$\mathrm{DE}$を引くと，(あ)から

$\mathrm{IA}\times \mathrm{ID}=R^2-{\boxed{\text{④}}}^2$$\cdots$(い)

が成り立つ．

　点$\mathrm{I}$は$\mathrm{▵ABC}$の内心だから$\mathrm{\angle IAC}=\mathrm{\angle }\boxed{\text{⑤}}\text{，}$$\mathrm{\angle IBA}=\mathrm{\angle }\boxed{\text{⑥}}$である．また，$\stackrel{⏜}{\mathrm{DC}}$の円周角から，$\mathrm{\angle IAC}=\mathrm{\angle }\boxed{\text{⑦}}$である．

　よって，

$\begin{array}{ll}\mathrm{\angle }\boxed{\text{⑧}}& =\mathrm{\angle }\boxed{\text{⑤}}+\mathrm{\angle IBA}\\ & =\mathrm{\angle }\boxed{\text{⑦}}+\mathrm{\angle }\boxed{\text{⑥}}=\mathrm{\angle }\boxed{\text{⑨}}\end{array}$

となり，$\mathrm{\angle }\boxed{\text{⑧}}=\mathrm{\angle }\boxed{\text{⑨}}$より，$\mathrm{▵}\boxed{\text{⑩}}$は二等辺三角形である．

(2)　図２において，次の[1]，[2]に答えよ．

[1]　$\mathrm{▵IAH}$と$\mathrm{▵EDB}$は相似であることを証明し，$\mathrm{AI}\times \mathrm{BD}=2Rr$を示せ．

[2]　$\mathrm{▵ABC}$の外接円$O$の半径が$8\text{，}$内接円$I$の半径が$3$のとき，外心$\mathrm{O}$と内心$\mathrm{I}$との距離$\mathrm{OI}$の値を求めよ．