2019　東邦大学　医学部医学科MathJax

2019-13460-0201

2019　東邦大学　医学部医学科

1月30日実施

易□　並□　難□

【１】　 $a$ を定数とし， $f (x) = \frac{a x - 1 + \sqrt{x^{2} + (a + 2) x + 1}}{x^{2}}$ とする．極限値 $\lim_{x \to 0} f (x)$ が存在するとき， $a = \frac{アイ}{ウ}$ であり， $\lim_{x \to 0} f (x) = \frac{エ}{オカ}$ である．

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【２】　変量 $x$ のとり得る値は $3$ または $6$ または $12$ であり， $x$ についてのデータが $45$ 個観測されるとする．また， $45$ 個のデータの平均値と中央値をそれぞれ $\overline{x} ，$ $\tilde{x}$ と表す． $\tilde{x} = 12$ となるとき， $\overline{x}$ のとり得る最小の値は $\frac{キク}{ケ}$ である． $\tilde{x} = 6$ となるとき， $| \overline{x} - 6 |$ のとり得る最大の値は $\frac{コサ}{シス}$ である．

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【３】　関数 $f (x) = (1 - x) \sqrt{\frac{x}{3}}$ $（ x ≧ 0 ）$ は $x = α$ で最大値をとる．このとき， $α = \frac{セ}{ソ}$ である．また，曲線 $y = f (x)$ の $α ≦ x ≦ 3$ の部分の長さは $\frac{タチ}{ツ}$ である．

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【４】　 $▵ABC$ において， $AB = 4 ，$ $BC = 6 ，$ $CA = 5$ とする．また，頂点 $A$ から辺 $BC$ へ垂線 $AH$ を下ろし， $AH$ の延長が $▵ABC$ の外接円と交る点を $D$ とする．このとき， $\frac{BH}{CH} = \frac{ア}{イ}$ であり， $\frac{AH}{DH} = \frac{ウエ}{オカ}$ である．

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【５】　 $M ，$ $E ，$ $D ，$ $I ，$ $C ，$ $I ，$ $N ，$ $E$ の $8$ 文字をすべて使って文字列を作る．このとき， $C$ の両隣りがともに $I$ となる並べ方は全部で $キクケ$ 通りある．また， $C$ と $I$ が隣りどうしにならない並べ方は全部で $コサシス$ 通りある．

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【６】　 $2$ つの実数 $x ，$ $y$ は，方程式 $2 x^{2} + 3 x y + 2 y^{2} - 14 x - 14 y + 21 = 0$ を満たす．

　このとき， $x + y$ のとり得る値の範囲は $セ ≦ x + y ≦ ソ$ である．

　また， $(x + 1) (y + 1)$ のとり得る値の範囲は $\frac{タ}{チ} ≦ (x + 1) (y + 1) ≦ ツテ$ である．

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【７】　数列 ${a_{n}}$ は， $a_{1} = 3 ，$ $a_{2} = 3 ，$ $a_{n + 2} - a_{n + 1} + a_{n} = a_{n + 2} a_{n} - 1$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $\dots ）$ を満たす．このとき， $a_{104} = \frac{ア}{イ}$ である．また， $\sum_{n = 1}^{N} a_{n} = 2019$ となるような $N$ の値は $ウエオカ$ である．

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【８】　 $3$ 次関数 $y = x^{3} + x^{2} + a x$ のグラフが， $x$ 軸上のある点に関して対称になるような定数 $a$ の値は $\frac{キ}{ク}$ である． $4$ 次関数 $y = x^{4} + x^{3} + x^{2} + b x$ のグラフが， $x$ 軸に垂直なある直線に関して対称になるような定数 $b$ の値は $\frac{ケ}{コ}$ である．

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【９】　 $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $ABCD$ がある．辺 $AB$ の中点と辺 $CD$ の中点とを結ぶ線分の長さは $\frac{\sqrt{サ}}{シ}$ である．また， $3$ 点 $A ，$ $B ，$ $C$ を頂点とする三角形を直線 $CD$ のまわりに $1$ 回転したとき，三角形 $ABC$ が通過する部分の体積は $\frac{ス}{セソ} π$ である．

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【10】　座標空間において，点 $(0, 1, 2)$ を通り，球面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$ に接する直線の全体を考える．直線と球面との接点全体からなる図形は，面積が $\frac{タ}{チ} π$ の円である．

　また，直線と平面 $z = 0$ との交点全体からなる図形は，面積が $ツテ \sqrt{ト} π$ の楕円である．