2019　上智大学　推薦理工学部MathJax

【１】(1)　微分係数の定義を利用して，

$\underset{n\to \infty }{\lim }n(e^{1/n}-1)=1$

である事を示せ．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$を$n$等分して，右の図のように$y=e^x$のグラフと$x$軸に囲まれた図形を幅${\displaystyle \frac{1}{n}}$の細い長方形の集まりで下から近似した面積の和を$S_n$とする．例えば$n=10$のとき，図のグラフの下側にある長方形の面積の和が$S_{10}$である．$S_n$を$n$の式で表せ．

(3)

$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=e-1$

が成り立つ事を示せ．

【２】　$0$から$7$までの整数がそれぞれ$1$つずつ書かれたカードが$1$枚ずつ合計$8$枚ある．この$8$枚のカードから$1$枚を引いて元に戻す試行を$3$回繰り返す．$3$回の試行で出たカードの数字を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とし，$3$つの数字を掛けて$x=abc$を求める．

　$1$の位が$k$である$0$以上の整数の集合を$C_k$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$9\text{）}$とする．

(1)　$m\text{，}n\in C_1\cup C_3\cup C_7\cup C_9$ならば$mn\in C_1\cup C_3\cup C_7\cup C_9$であることを示せ．

(2)　$x\in C_1\cup C_3\cup C_7\cup C_9$となる確率を求めよ．

(3)　$x\in C_0\cup C_5$となる確率を求めよ．