2019　上智大学　理工学部2月8日実施MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$2$点$\mathrm{A}$$(-1,2,2\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,2,\sqrt{2})$がある．

(1)　平面$y=-1$上の点$\mathrm{P}$が$\mathrm{OA}\perp \mathrm{OP}$かつ$\mathrm{OB}\perp \mathrm{OP}$を満たすとき，$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ア}},-1,\sqrt{\boxed{\text{イ}}})$である．また，$\cos \mathrm{\angle BAP}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}}{\boxed{\text{エ}}}}$であり，$\mathrm{▵ABP}$の面積は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

(2)　点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{AQ}=\mathrm{BQ}$かつ$\mathrm{OQ}=\sqrt{6}$を満たしながら動くとする．このとき，$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$であり，$\mathrm{Q}$の$z$座標の最大値は${\displaystyle \frac{1}{6}}(\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}+\boxed{\text{コ}}\sqrt{2})$である．また，$\mathrm{Q}$の軌跡は半径${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}$の円である．

【２】　実数からなる無限数列$\{a_n\}$に対する次の条件$p$を考える．

$p$：「$N$以上のすべての自然数$n$に対して$a_n\leqq 2$」が成り立つような自然数$N$が存在する．

(1)　選択肢１から，$p$を満たす数列をすべて選べ．$1$つもない場合はZをマークせよ．

選択肢１：

(2)　次の条件$q_1\text{，}$$q_2\text{，}$$q_3\text{，}$$q_4\text{，}$$q_5$を考える．

$q_1$：すべての自然数$n$に対して$a_n\leqq 2$である

$q_2$：集合$\{n|a_n>2\text{，}n\text{は自然数}\}$が空集合または有限集合である

$q_3$：集合$\{n|a_n\leqq 2\text{，}n\text{は自然数}\}$が無限集合である

$q_4$：$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=2$

$q_5$：$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$

　以下の$\boxed{\text{あ}}\text{〜}$$\boxed{\text{お}}$にあてはまるものを選択肢２から選べ．

(ⅰ)　$q_1$は$p$であるための$\boxed{\text{あ}}$

(ⅱ)　$q_2$は$p$であるための$\boxed{\text{い}}$

(ⅲ)　$q_3$は$p$であるための$\boxed{\text{う}}$

(ⅳ)　$q_4$は$p$であるための$\boxed{\text{え}}$

(ⅴ)　$q_5$は$p$であるための$\boxed{\text{お}}$

(3)　$p$の否定$\bar{p}\text{，}$および次の条件$r_1\text{，}$$r_2\text{，}$$r_3\text{，}$$r_4\text{，}$$r_5\text{，}$$r_6$を考える．

$r_1$：$a_n>2$を満たす自然数$n$が存在する

$r_2$：集合$\{n|a_n>2\text{，}n\text{は自然数}\}$が無限集合である

$r_3$：集合$\{n|a_n>2\text{，}n\text{は自然数}\}$が空集合ではなく，かつ，この集合に最大の要素が存在しない

$r_4$：「$N$以上のすべての自然数$n$に対して$a_n>2$」が成り立つような自然数$N$が存在する

$r_5$：「$N$以下のすべての自然数$n$に対して$a_n\leqq 2$」が成り立つような自然数$N$が存在する

$r_6$：「$N$以下のすべての自然数$n$に対して$a_n>2$」が成り立つような自然数$N$が存在する

　以下の$\boxed{\text{か}}\text{〜}$$\boxed{\text{さ}}$にあてはまるものを選択肢２から選べ．

(ⅰ)　$r_1$は$\bar{p}$であるための$\boxed{\text{か}}$

(ⅱ)　$r_2$は$\bar{p}$であるための$\boxed{\text{き}}$

(ⅲ)　$r_3$は$\bar{p}$であるための$\boxed{\text{く}}$

(ⅳ)　$r_4$は$\bar{p}$であるための$\boxed{\text{け}}$

(ⅴ)　$r_5$は$\bar{p}$であるための$\boxed{\text{こ}}$

(ⅵ)　$r_6$は$\bar{p}$であるための$\boxed{\text{さ}}$

選択肢２：

A.　必要十分条件である．

B.　必要条件であるが十分条件ではない．

C.　十分条件であるが必要条件ではない．

D.　必要条件でも十分条件でもない．

【３】　$\alpha ={\log }_{2}3$とし，自然数$n$に対して

$a_n=[n\alpha ]\text{，}$$b_n=\left[{\displaystyle \frac{n\alpha }{\alpha -1}}\right]$

とする．ただし，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．

(1)　$a_5=\boxed{\text{ス}}$である．

(2)　$b_3=k$とおくと，不等式

${\displaystyle \frac{3^{k+c}}{2^k}}\leqq 1<{\displaystyle \frac{3^{k+1+c}}{2^{k+1}}}$

が整数$c=\boxed{\text{セ}}$で成り立ち，$b_3=\boxed{\text{ソ}}$であることがわかる．

(3)　$a_n\leqq 10$を満たす自然数$n$の個数は$\boxed{\text{タ}}$である．

(4)　$b_n\leqq 10$を満たす自然数$n$の個数は$\boxed{\text{チ}}$である．

(5)　$a_n\leqq 50$を満たす自然数$n$の個数を$s$とし，$b_n\leqq 50$を満たす自然数$n$の個数を$t$とする．このとき，$s+t=\boxed{\text{ツ}}$である．

【４】　座標平面において，軸が$y$軸と平行な放物線$C$は，原点を通り，直線$l\text{：}y=-x+2$と接している．$C$と$l$の接点の$x$座標を$t$とし，$t$が正の実数を動くとき，$C$の頂点$\mathrm{A}$が描く曲線を$D$とする．

(1)　$\mathrm{A}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}t(t+\boxed{\text{ナ}}),{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}{(t+\boxed{\text{ネ}})}^2)$

である．

(2)　$0<t<4$のとき，$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}$である．

(3)　$D$の接線のうち，接点が第$2$象限にあるものを考える．このとき，接線の傾き$k$のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}<k<\boxed{\text{ヘ}}$

である．

(4)　$D$と$y$軸で囲まれた部分の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．

(5)　$\mathrm{A}$の座標を$(x,y)$とすると，$t$によらず

$x^2+\boxed{\text{ミ}}xy+\boxed{\text{ム}}{y}^2+\boxed{\text{メ}}y=0$

が成り立つ．