2019　上智大学　法,経済,外国語学部月7日実施MathJax

【１】

(1)　$2$つの整数$50381$と$49883$の最大公約数は$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】

(2)　整式

$f(x)=-({\log }_{\frac{1}{4}}16)x^3-({\log }_{\frac{1}{4}}64)x^2$$+6({\log }_{\frac{1}{4}}4096)x$$+3({\log }_{\frac{1}{4}}256)$

を整数を係数とする整式で表すと，

$f(x)=\boxed{\text{イ}}{x}^3+\boxed{\text{ウ}}{x}^2$$+\boxed{\text{エ}}x+\boxed{\text{オ}}$

である．したがって，$f(x)$は$x=\boxed{\text{カ}}$で極大値$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$x=\boxed{\text{ク}}$で極小値$\boxed{\text{ケ}}$をとる．

【１】

(3)　石を$n$個直線状に並べることを考える．それぞれの石の色は確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で白または黒であるとする．このとき，同じ色の石が続く部分が$r$個できたとする．例えば，$n=5$で

○●○●●

と並べたならば，左から，白$1$個の部分，黒$1$個の部分，白$1$個の部分，黒$2$個の部分，となるので，$r=4$である．$n=5$のとき，$r=3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$である．また，$n=7$のとき，$r$が$3$の倍数になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

【２】　$a$を正の実数とし，

$f(x)=x^2-2a\text{，}$$g(x)=-{(x-a)}^2$

とする．

(1)　$2$つの放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$が共有点をもつための必要十分条件は，

$a\leqq \boxed{\text{セ}}$

である．また，$a={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \boxed{\text{セ}}$のとき，放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

(2)　$a>\boxed{\text{セ}}$のとき，放物線$y=f(x)$と$y=g(x)$には共通接線が$2$本ある．

(ⅰ)　$a=2\times \boxed{\text{セ}}$のときの共通接線の傾きのうち，小さい方の傾きは$\boxed{\text{チ}}-\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$である．

(ⅱ)　$2$本の共通接線の交点は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}a,\boxed{\text{ニ}}a)$

である．

【３】　$\mathrm{▵OAB}$を考える．辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を${\mathrm{A}}_1\text{，}$辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を${\mathrm{A}}_2$とする．同様に，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を${\mathrm{B}}_1\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点を${\mathrm{B}}_2$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．

(1)　直線${\mathrm{A}}_1\mathrm{B}$と直線$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\overrightarrow{b}$

である．また，直線${\mathrm{A}}_2\mathrm{B}$と直線$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_2$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}}{\boxed{\text{フ}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\overrightarrow{b}$

である．さらに，直線${\mathrm{A}}_1\mathrm{B}$と直線$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_2$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ム}}}{\boxed{\text{メ}}}}\overrightarrow{b}$

である．

(2)　直線${\mathrm{A}}_2\mathrm{B}$と直線$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=2$のとき，四角形$\mathrm{PRQS}$の面積の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}$であり，この最大値をとるのは$\angle AOB={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}\pi$のときである．