2019　上智大学　文,法,総合人間科学部学部2月5日実施MathJax

【１】　$2$つの放物線$C_1\text{：}y=-x^2+3\text{，}$$C_2\text{：}y=x^2-8x+17$がある．

(1)　$C_1$上の点$(a,-a^2+3)$から$C_2$に引いた$2$つの接線は垂直に交わる．$a$のとり得る値のうち最大のものは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

　$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$のとき，点$(a,-a^2+3)$を$\mathrm{A}$とする．

(2)　$C_1$上の点$\mathrm{B}$$(1,2)$における$C_1$の接線と平行な$C_2$の接線を$l\text{，}$その接点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{ウ}},\boxed{\text{エ}})$であり，$\mathrm{B}$と$l$の距離$d$は

$d={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$

である．

(3)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{A}$と，$C_1$上の$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{Q}$が一直線上にあるとき，$\mathrm{Q}$の$x$座標は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$である．この$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．$m$と$C_1$で囲まれた図形の面積は${\displaystyle \frac{1}{6}}\times {\left({\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\right)}^3$である．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{AC}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4$とする．$\mathrm{\angle A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の内接円の中心を$\mathrm{Q}\text{，}$外接円の中心を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)　内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\sqrt{\boxed{\text{タ}}}\text{，}$内接円の半径は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}}}\text{，}$外接円の半径は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}\overrightarrow{c}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\overrightarrow{c}$である．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{AO}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}\overrightarrow{c}$である．

【３】　$p\text{，}$$q$を正の整数とする．数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は次のように定められている．

$a_1=p\text{，}$$b_1=q\text{，}$

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{b_n+1}{a_n}}\text{，}$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{{a_{n+1}}^3+1}{b_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$p=\boxed{\text{メ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{モ}}$であるとき，$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$はそれぞれすべての項が等しくなる．すなわち，$a_1=a_2=a_3=a_4=\cdots \text{，}$$b_1=b_2=b_3=b_4=\cdots$となる．

(2)　$p=1\text{，}$$q=2$とする．このとき，$a_4=\boxed{\text{ヤ}}\text{，}$$b_4=\boxed{\text{ユ}}\text{，}$$a_5=\boxed{\text{ヨ}}\text{，}$$b_5=\boxed{\text{ラ}}$である．数列$\{a_n\}$の項がとり得る最大の値は$\boxed{\text{リ}}\text{，}$数列$\{b_n\}$の項がとり得る最大の値は$\boxed{\text{ル}}$である．

(3)　$p=1\text{，}$$q=2$とする．このとき，数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$について記述した命題として正しいものを次の選択肢からすべて選べ．

[選択肢]

A.　$\{a_n\}$において，ある$m$番目以降のすべての項は等しい．すなわち，$a_m=a_{m+1}=a_{n+2}=\cdots$が成り立つ．

B.　$\{a_n\}$のすべての項は正である．

C.　$\{a_n\}$は$a_n{a}_{n+1}{a}_{n+2}=a_n+{a_{n+1}}^2+a_{n+2}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たす．

D.　$\{a_n\}$には整数でない項がある．

E.　$\{a_n\}$において，正の整数$r$があって，$a_{n+r}=a_n$がすべての正の整数$n$に対して成り立つ．

F.　$\{b_n\}$において，ある$l$番目以降のすべての項は等しい．すなわち，$b_l=b_{l+1}=b_{l+2}=\cdots$が成り立つ．

G.　$\{b_n\}$のすべての項は正である．

H.　$\{b_n\}$は$b_n{b}_{n+1}{b}_{n+2}=b_n+{b_{n+1}}^2+b_{n+2}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$を満たす．

I.　$\{b_n\}$には整数でない項がある．

J.　$\{b_n\}$において，正の整数$s$があって，$b_{n+s}=b_n$がすべての正の整数$n$に対して成り立つ．