2019　上智大学　経済，外国語,総合人間科学部2月4日実施MathJax

【１】(1)　$x$の$2$次式$P(x)$について，$x^2$の係数が$2$であり，$x+1$で割ったときの余りが$1\text{，}$$x-2$で割ったときの余りが$-8$である．このとき，

$P(x)=2x^2+\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{イ}}$

である．

【 １】(2)　年利率$5\mathrm{\%}\text{，}$$1$年ごとの複利で資金を運用する．必要であれば，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}7=0.8451$として用いてよい．

(ⅰ)　$1$万円の元金を運用したとき，元利合計が初めて$2$万円を超えるのは$\boxed{\text{ウ}}$年後である．

(ⅱ)　毎年$1$万円ずつ積み立てる．つまり，$1$年後の時点の資金は，はじめの$1$万円の元利合計と，新たに積み立てた$1$万円の合計になり，$2$年後の時点の資金は，$1$年後の時点の資金に対する元利合計と，新たに積み立てた$1$万円の合計になる．このとき，資金が初めて$20$万円を超えるのは$\boxed{\text{エ}}$年後である．

【１】(3)　$A\text{，}$$B$を事象，$\bar{A}$を$A$の余事象とする．

$P(A)={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}$$0<P(B)<1\text{，}$${\displaystyle \frac{P_{\bar{A}}(B)}{P_A(B)}}=9$

のとき，

$\begin{array}{cc}\hfill P_B(A)& ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\hfill \\ \hfill P_B(\bar{A})& ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\hfill \\ \hfill P(B)& =\boxed{\text{ケ}}\times P(A\cap B)\hfill \\ \hfill P(A\cup B)& =\boxed{\text{コ}}\times P(A\cap B)+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\hfill \end{array}$

である．

【２】　$a$を実数とする．座標平面上の点$(x,y)$が円$x^2+y^2=1$上を動くとき，

$F(x,y)=x^3+y^3-a(x+y)$

の最大値を求めることを考える．

(1)　$s=x+y\text{，}$$t=xy$とおくとき

$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}(s^2+\boxed{\text{ソ}})$

である．

(2)　$s^2$のとりうる値の範囲は$0\leqq s^2\leqq \boxed{\text{タ}}$である．

(3)　$F(x,y)$を$a$と$s$の式で表すと，

$F(x,y)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}{s}^3+({\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}-a)s$

である．

(4)　$a=1$のとき，$F(x,y)$の最大値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

(5)　$a={\displaystyle \frac{3}{8}}$のとき，$F(x,y)$の最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$である．

【３】　一辺の長さが$2$の正方形$\mathrm{BCDE}$を底面とし，すべての側面が正三角形であるような四角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$$\mathrm{A}‐\mathrm{BCDE}$を考える．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{F}\text{，}$辺$\mathrm{AE}$の中点を$\mathrm{G}$とし，$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$を通る平面を$\alpha$とする．

(1)　平面$\alpha$が線分$\mathrm{AD}$と交わる点を$\mathrm{H}$とするとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}$である．

(2)　平面$\alpha$による四角錐$\mathrm{A}‐\mathrm{BCDE}$の断面の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}$である．

(3)　平面$\alpha$によって四角錐が分けられてできた$2$つの立体のうち，点$\mathrm{D}$を含む立体の頂点の数は$\boxed{\text{マ}}\text{，}$辺の数は$\boxed{\text{ミ}}\text{，}$面の数は$\boxed{\text{ム}}$である．

(4)　平面$\alpha$によって四角錐が分けられてできた$2$つの立体のうち，点$\mathrm{A}$を含む立体の体積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ヤ}}}$である．