2019　上智大学　TEAP理系2月3日実施MathJax

【１】　$\log x$は$x$の自然対数，$e$は自然対数の底を表す．

(1)　正の実数$x$に対して

$x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}<\log (1+x)<x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　自然数$n$に対して

$a_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$

とおく．

(ⅰ)　自然数$n$に対して

$1-{\displaystyle \frac{1}{2n}}<\log a_n<1-{\displaystyle \frac{1}{2n}}+{\displaystyle \frac{1}{3n^2}}$

が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　不等式

$e^{0.9}<a_n$

が成り立つ最小の自然数$n$を求めよ．

【２】　複素数平面において，円周$\left|z\right|=1$上の異なる$3$点$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3$を考える．このとき，次の条件$p$と$q$は同値であることを示せ．

$p$：$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3$を頂点とする三角形が正三角形である

$q$：$z_1+z_2+z_3=0$

【３】　座標平面において，双曲線$C\text{：}xy=1$上の異なる$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を考える．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ$p\text{，}$$q\text{，}$$r$とする．$\mathrm{▵PQR}$の重心を$\mathrm{G}\text{，}$垂心を$\mathrm{H}$とする．ただし，三角形の垂心とは各頂点からそれぞれの対辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線が交わるただ一つの点のことである．以下の問において，$\boxed{\text{あ}}\text{〜}$$\boxed{\text{え}}$にあてはまるものを選択肢１から，$\boxed{\text{お}}\text{〜}$$\boxed{\text{く}}$にあてはまるものを選択肢２からそれぞれ選べ．

(1)　$\mathrm{G}$の座標は$(\boxed{\text{あ}},\boxed{\text{い}})\text{，}$$\mathrm{H}$の座標は$(\boxed{\text{う}},\boxed{\text{え}})$である．

選択肢１：

(2)　$\mathrm{▵PQR}$が正三角形である場合を考える．このとき，$\mathrm{G}$と$\mathrm{H}$は一致する．$\mathrm{G}$の$x$座標を$a$とする．

(ⅰ)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を解に持つ$3$次方程式は

$x^3+\boxed{\text{お}}{x}^2+\boxed{\text{か}}x+\boxed{\text{き}}=0$

と表される．

(ⅱ)　$\mathrm{▵PQR}$の外接円と$C$が$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$以外の共有点$\mathrm{S}$を持つとき，$\mathrm{S}$の$x$座標は$\boxed{\text{く}}$である．

選択肢２：

【４】(1)　自然数$k\text{，}$$l$に対して，$k\ne l$のとき

${\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\cos kx\cos lx\mathit{dx}=\boxed{\text{け}}\text{，}$

$k=l$のとき

${\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\cos kx\cos lx\mathit{dx}=\boxed{\text{こ}}$

である．$\boxed{\text{け}}\text{，}$$\boxed{\text{こ}}$にあたはまるものを以下から選べ．

(2)　自然数$k$に対して$a_k={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}|\sin x|\cos kx\mathit{dx}$とする．

(ⅰ)　$k$が奇数のとき

$a_k=\boxed{\text{ア}}\text{，}$

$k$が偶数のとき

$a_k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{k^2+\boxed{\text{ウ}}}}$

である．

(ⅱ)　自然数$n$に対して

$f_n(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}\sqrt{\left|a_k\right|}\cos kx\text{，}$

$I_n={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{(f_n(x))}^2\mathit{dx}$

とする．このとき，$I_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}$であり，

$I_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}n}{\boxed{\text{キ}}n+1}}$（$n$は自然数）

である．