2019　上智大学　TEAP文系2月3日実施MathJax

【１】

(1)　$0<a<1$のとき，${\displaystyle {\int }_0^2}|6x^2-18ax+12a^2|\mathit{dx}$$=\boxed{\text{ア}}{a}^3+\boxed{\text{イ}}{a}^2+\boxed{\text{ウ}}a+\boxed{\text{エ}}$である．

【１】

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$y={\sin }^{2}x-\sin x\cos x+6{\cos }^{2}x$の最大値は$\boxed{\text{オ}}\text{，}$最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}$である．

【１】

(3)　初項$a\text{，}$公比$2$の等比数列$\{a_n\}$を考える．

(ⅰ)　$a=3$のとき，$a_{33}$の一の位の数字は$\boxed{\text{サ}}$である．

(ⅱ)　$a=5$のとき，$a_{55}$は$\boxed{\text{シ}}$$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の整数である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$として用いてよい．

(ⅲ)　$a=3$のとき，$\{a_n\}$で一の位の数字が$2$である項を小さい方から順に並べた新しい数列を$\{b_n\}$とする．数列$\{b_n\}$の初項から第$m$項までの和は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}({\boxed{\text{ソ}}}^m+\boxed{\text{タ}})$である．

【２】　実数からなる集合$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を次のように定義する．

$A=\{x|2^x<4x-3\}$

$B=\{x|0<x\leqq b\}$

$C=\{x|x^2-6x+c<0\}$

ただし，$b\text{，}$$c$は実数で$b>0$とする．

　$\boxed{\text{あ}}\text{，}$$\boxed{\text{い}}$には選択肢(a)〜(g)の中から，$\boxed{\text{う}}\text{〜}$$\boxed{\text{お}}$には選択肢(a)〜(f)の中から正しいものをマークせよ．ただし，該当するものがない場合にはzをマークせよ．

(1)　$2\boxed{\text{あ}}A\text{，}$$5\boxed{\text{い}}A$である．

(2)　$A\cap B$が空集合となる$b$のうち，整数で最大のものは$\boxed{\text{チ}}$である．

(3)　$A\subset B$となる$b$のうち，整数で最小のものは$\boxed{\text{ツ}}$である．

(4)　$C$が空集合であるための必要十分条件は$c\boxed{\text{う}}\boxed{\text{テ}}$である．

(5)　$b=5$のとき，$B\subset C$であるための必要十分条件は$c\boxed{\text{え}}\boxed{\text{ト}}$である．

(6)　$b=7$のとき，$B\subset C$であるための必要十分条件は$c\boxed{\text{お}}\boxed{\text{ナ}}$である．

【３】　$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=3$の長方形$\mathrm{ABCD}$の形の紙がある．$\mathrm{DE}=a$となる辺$\mathrm{DC}$上の点$\mathrm{E}$を考える．$\mathrm{A}$が$\mathrm{E}$と重なるように紙を折るとき，折り目となる線と辺$\mathrm{AD}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$a$を用いて表すと，$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}{a}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}}$である．

(2)　$a$を用いて表すと，$\mathrm{BQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}}{a}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{フ}}}{\boxed{\text{ヘ}}}}a+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．

(3)　$a$を用いて表すと，$\mathrm{PQ}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}\sqrt{a^2+\boxed{\text{メ}}}$である．

(4)　四角形$\mathrm{ABQP}$の面積は$a$を用いて表すと${\displaystyle \frac{\boxed{\text{モ}}}{\boxed{\text{ヤ}}}}{a}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}}a+\boxed{\text{ラ}}$であり，その最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{リ}}}{\boxed{\text{ル}}}}$である．